Extremstellen und Monotonie
Welche Bedingung ist NOTWENDIG für eine Extremstelle bei x₀?
Erklärung: An einer Extremstelle einer differenzierbaren Funktion muss f'(x₀) = 0 gelten (notwendige Bedingung). Aber Achtung: f'(x₀) = 0 allein reicht nicht aus.
Wenn f'(x₀) = 0, dann hat f bei x₀ immer eine Extremstelle.
Erklärung: Falsch. f'(x₀) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend. Gegenbeispiel: f(x) = x³ hat bei x₀ = 0: f'(0) = 0, aber keine Extremstelle (Sattelpunkt).
f(x) = x³ − 3x. Bestimme die x-Koordinate des lokalen Maximums.
Erklärung: f'(x) = 3x²−3 = 0 → x² = 1 → x = ±1. f''(x) = 6x. f''(−1) = −6 < 0 → Maximum bei x = −1. f''(1) = 6 > 0 → Minimum bei x = 1.
f'(x) > 0 auf einem Intervall I bedeutet: f ist dort streng monoton ___.
Erklärung: Positive Ableitung bedeutet positive Steigung — die Funktion ist streng monoton steigend.
f(x) = x⁴ − 4x² + 3. Wie viele lokale Extremstellen hat f?
Erklärung: f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x²−2) = 0 → x = 0, x = √2, x = −√2. f''(x) = 12x²−8. f''(0) = −8 < 0 (Max), f''(±√2) = 24−8 = 16 > 0 (Min). Also 3 Extremstellen.
f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 ist eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum bei x₀.
Erklärung: Richtig. Wenn die erste Ableitung null ist und die zweite Ableitung negativ, liegt ein lokales Maximum vor (Kriterium über die zweite Ableitung).
f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4. Berechne den Funktionswert am lokalen Maximum.
Erklärung: f'(x) = 6x²−18x+12 = 6(x²−3x+2) = 6(x−1)(x−2) = 0 → x = 1 oder x = 2. f''(x) = 12x−18. f''(1) = −6 < 0 → Max bei x = 1. f(1) = 2−9+12−4 = 1.
Wenn f'(x) das Vorzeichen von + nach − wechselt, liegt bei x₀ ein lokales ___ vor.
Erklärung: Vorzeichenwechsel von + nach − bedeutet: f steigt vor x₀ und fällt danach. Also liegt ein lokales Maximum vor.
f(x) = −x⁴ + 2x². Auf welchem Intervall ist f streng monoton steigend?
Erklärung: f'(x) = −4x³+4x = 4x(1−x²). Nullstellen: x = −1, 0, 1. Für x ∈ (0, 1): 4·(pos)·(pos) > 0. Also ist f auf [0; 1] streng monoton steigend.
f(x) = x³ − 12x. Bestimme das lokale Minimum (y-Wert).
Erklärung: f'(x) = 3x²−12 = 0 → x² = 4 → x = ±2. f''(x) = 6x. f''(2) = 12 > 0 → Minimum bei x = 2. f(2) = 8−24 = −16.
Eine streng monoton steigende Funktion hat keine lokalen Extremstellen.
Erklärung: Richtig. Wenn f überall steigt, gibt es keinen Punkt, der sowohl lokal größer als alle Nachbarn (Maximum) oder kleiner (Minimum) wäre.
f(x) = x⁴. An der Stelle x = 0 gilt f'(0) = 0. Trotzdem liegt dort ein globales Minimum, kein Sattelpunkt, weil f''(0) = 0 und f(x) = x⁴ ≥ ___ für alle x.
Erklärung: x⁴ ≥ 0 für alle x und x⁴ = 0 nur bei x = 0. Daher hat f bei x = 0 ein globales Minimum, auch wenn f''(0) = 0 (das Kriterium mit f'' versagt hier).
Tim: „Für f(x) = −(x − 1)⁴ ist f'(1) = 0 und f''(1) = 0, also hat f bei x = 1 kein Extremum.“ Wie ist Tims Schluss zu bewerten?
Erklärung: f'(x) = −4(x − 1)³ ist links von 1 positiv und rechts negativ – Vorzeichenwechsel von + nach −, also ein Maximum bei x = 1. f''(1) = 0 heißt nur, dass das f''-Kriterium keine Entscheidung liefert; es beweist nicht, dass kein Extremum vorliegt. Die hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechsel von f') entscheidet.
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2. Berechne f'(x) und bestimme die kleinere Extremstelle.
Erklärung: f'(x) = 3x²−12x+9 = 3(x²−4x+3) = 3(x−1)(x−3) = 0 → x = 1 oder x = 3. Die kleinere Extremstelle ist x = 1.
f(x) = x³ hat bei x = 0 eine Extremstelle.
Erklärung: Falsch. f'(x) = 3x², f'(0) = 0. Aber f'(x) ≥ 0 für alle x, es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Bei x = 0 liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extremum.
Der Satz von Rolle besagt: Ist f stetig auf [a,b], differenzierbar auf (a,b) und f(a) = f(b), dann:
Erklärung: Der Satz von Rolle garantiert mindestens eine Stelle c im offenen Intervall, an der die Tangente waagerecht ist.
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt: Es gibt ein c ∈ (a,b) mit f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).
Erklärung: Richtig. Geometrisch bedeutet das: Es gibt eine Stelle, an der die Tangente parallel zur Sekante durch (a,f(a)) und (b,f(b)) verläuft.
f(x) = x² auf [1,3]. Finde c nach dem Mittelwertsatz: f'(c) = (f(3)−f(1))/(3−1). Berechne c.
Erklärung: f'(c) = 2c. (9−1)/2 = 4. Also 2c = 4, c = 2.
Ein Bauer möchte mit 100 m Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen. Welche Maße hat das optimale Rechteck?
Erklärung: Umfang: 2a + 2b = 100, also b = 50−a. Fläche: A(a) = a(50−a) = 50a − a². A'(a) = 50 − 2a = 0 → a = 25. Also a = b = 25 m.
Extremwertaufgabe: f(x) = −x² + 6x − 5. Bestimme den maximalen Funktionswert.
Erklärung: f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3. f''(3) = −2 < 0 → Maximum. f(3) = −9 + 18 − 5 = 4.
Globales Maximum und lokales Maximum unterscheiden sich wie folgt:
Erklärung: Ein globales Maximum ist der größte Wert auf dem gesamten Definitionsbereich (oder Intervall). Ein lokales Maximum ist nur lokal der größte Wert.
Ein offener Quader (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 32 cm³ Volumen haben. Bestimme die Seitenlänge a (in cm), die den Materialverbrauch minimiert.
Erklärung: V = a²h = 32, also h = 32/a². Oberfläche: O = a² + 4ah = a² + 128/a. O'(a) = 2a − 128/a² = 0 → a³ = 64 → a = 4.