Extremstellen und Monotonie

Extrema and Monotonicity

Mathematik Klasse 11 22 Aufgaben
AnalysisExtremaMonotonieKerncurriculum

Wo f′ das Vorzeichen wechselt, hat f eine Extremstelle — f′(x₀) = 0 allein genügt nicht. Der Kalkül: f′ berechnen, ihre Nullstellen und eine Vorzeichentabelle aufstellen, notwendige und hinreichende Bedingung sauber trennen. Der klassische Fehler „f′(x₀) = 0, also Extremum" scheitert an Gegenbeispielen wie x³, dessen Ableitung bei 0 verschwindet, ohne dass ein Extremum vorliegt (Terrassenpunkt). Formalisiert wird der graphische f-f′-Zusammenhang für ganzrationale Funktionen; es folgen Kurvendiskussion und Optimierung.

Voraussetzungen (2)

Ableitungsregeln
Klasse 11
›
Graphisches Ableiten — vom Graphen von f zum Graphen von f′
Klasse 11
›

Ermöglicht (2)

Angewandte Analysis
Klasse 13
›
Wendestellen und Krümmung
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Bedingung ist NOTWENDIG für eine Extremstelle bei x₀?

  • ● f'(x₀) = 0
  • ○ f''(x₀) = 0
  • ○ f(x₀) = 0
  • ○ f'(x₀) > 0
An einer Extremstelle einer differenzierbaren Funktion muss f'(x₀) = 0 gelten (notwendige Bedingung). Aber Achtung: f'(x₀) = 0 allein reicht nicht aus.
Lückentext #2 10s ▶ Testen

f'(x) > 0 auf einem Intervall I bedeutet: f ist dort streng monoton ___.

✓ Antwort: steigend
Positive Ableitung bedeutet positive Steigung — die Funktion ist streng monoton steigend.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 ist eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum bei x₀.

✓ Wahr
Richtig. Wenn die erste Ableitung null ist und die zweite Ableitung negativ, liegt ein lokales Maximum vor (Kriterium über die zweite Ableitung).
Lückentext #4 10s ▶ Testen

Wenn f'(x) das Vorzeichen von + nach − wechselt, liegt bei x₀ ein lokales ___ vor.

✓ Antwort: Maximum
Vorzeichenwechsel von + nach − bedeutet: f steigt vor x₀ und fällt danach. Also liegt ein lokales Maximum vor.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Eine streng monoton steigende Funktion hat keine lokalen Extremstellen.

✓ Wahr
Richtig. Wenn f überall steigt, gibt es keinen Punkt, der sowohl lokal größer als alle Nachbarn (Maximum) oder kleiner (Minimum) wäre.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Globales Maximum und lokales Maximum unterscheiden sich wie folgt:

  • ● Das globale Maximum ist der größte Funktionswert überhaupt, das lokale nur in einer Umgebung.
  • ○ Es gibt keinen Unterschied.
  • ○ Das globale ist immer an einer Randstelle, das lokale im Inneren.
  • ○ Das lokale Maximum ist immer größer als das globale.
Ein globales Maximum ist der größte Wert auf dem gesamten Definitionsbereich (oder Intervall). Ein lokales Maximum ist nur lokal der größte Wert.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

Wenn f'(x₀) = 0, dann hat f bei x₀ immer eine Extremstelle.

✓ Falsch
Falsch. f'(x₀) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend. Gegenbeispiel: f(x) = x³ hat bei x₀ = 0: f'(0) = 0, aber keine Extremstelle (Sattelpunkt).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x. Bestimme die x-Koordinate des lokalen Maximums.

✓ Antwort: -1
f'(x) = 3x²−3 = 0 → x² = 1 → x = ±1. f''(x) = 6x. f''(−1) = −6 < 0 → Maximum bei x = −1. f''(1) = 6 > 0 → Minimum bei x = 1.
Multiple Choice #3 40s ▶ Testen

f(x) = x⁴ − 4x² + 3. Wie viele lokale Extremstellen hat f?

  • ● 3
  • ○ 2
  • ○ 1
  • ○ 4
f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x²−2) = 0 → x = 0, x = √2, x = −√2. f''(x) = 12x²−8. f''(0) = −8 < 0 (Max), f''(±√2) = 24−8 = 16 > 0 (Min). Also 3 Extremstellen.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4. Berechne den Funktionswert am lokalen Maximum.

✓ Antwort: 1
f'(x) = 6x²−18x+12 = 6(x²−3x+2) = 6(x−1)(x−2) = 0 → x = 1 oder x = 2. f''(x) = 12x−18. f''(1) = −6 < 0 → Max bei x = 1. f(1) = 2−9+12−4 = 1.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

f(x) = x³ − 12x. Bestimme das lokale Minimum (y-Wert).

✓ Antwort: -16
f'(x) = 3x²−12 = 0 → x² = 4 → x = ±2. f''(x) = 6x. f''(2) = 12 > 0 → Minimum bei x = 2. f(2) = 8−24 = −16.
Lückentext #6 20s ▶ Testen

f(x) = x⁴. An der Stelle x = 0 gilt f'(0) = 0. Trotzdem liegt dort ein globales Minimum, kein Sattelpunkt, weil f''(0) = 0 und f(x) = x⁴ ≥ ___ für alle x.

✓ Antwort: 0
x⁴ ≥ 0 für alle x und x⁴ = 0 nur bei x = 0. Daher hat f bei x = 0 ein globales Minimum, auch wenn f''(0) = 0 (das Kriterium mit f'' versagt hier).
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Tim: „Für f(x) = −(x − 1)⁴ ist f'(1) = 0 und f''(1) = 0, also hat f bei x = 1 kein Extremum.“ Wie ist Tims Schluss zu bewerten?

  • ○ Richtig, denn wegen f''(1) = 0 gibt es kein Extremum.
  • ● Falsch: f' wechselt bei 1 von + nach −, also Maximum.
  • ○ Falsch: f' wechselt bei 1 von − nach +, also Minimum.
f'(x) = −4(x − 1)³ ist links von 1 positiv und rechts negativ – Vorzeichenwechsel von + nach −, also ein Maximum bei x = 1. f''(1) = 0 heißt nur, dass das f''-Kriterium keine Entscheidung liefert; es beweist nicht, dass kein Extremum vorliegt. Die hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechsel von f') entscheidet.
Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2. Berechne f'(x) und bestimme die kleinere Extremstelle.

✓ Antwort: 1
f'(x) = 3x²−12x+9 = 3(x²−4x+3) = 3(x−1)(x−3) = 0 → x = 1 oder x = 3. Die kleinere Extremstelle ist x = 1.
Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

f(x) = x³ hat bei x = 0 eine Extremstelle.

✓ Falsch
Falsch. f'(x) = 3x², f'(0) = 0. Aber f'(x) ≥ 0 für alle x, es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Bei x = 0 liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extremum.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Der Satz von Rolle besagt: Ist f stetig auf [a,b], differenzierbar auf (a,b) und f(a) = f(b), dann:

  • ● existiert ein c ∈ (a,b) mit f'(c) = 0.
  • ○ hat f kein Extremum auf (a,b).
  • ○ ist f konstant auf [a,b].
  • ○ gilt f'(a) = f'(b).
Der Satz von Rolle garantiert mindestens eine Stelle c im offenen Intervall, an der die Tangente waagerecht ist.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt: Es gibt ein c ∈ (a,b) mit f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).

✓ Wahr
Richtig. Geometrisch bedeutet das: Es gibt eine Stelle, an der die Tangente parallel zur Sekante durch (a,f(a)) und (b,f(b)) verläuft.
Zahleneingabe #12 20s ▶ Testen

f(x) = x² auf [1,3]. Finde c nach dem Mittelwertsatz: f'(c) = (f(3)−f(1))/(3−1). Berechne c.

✓ Antwort: 2
f'(c) = 2c. (9−1)/2 = 4. Also 2c = 4, c = 2.
Multiple Choice #13 30s ▶ Testen

Ein Bauer möchte mit 100 m Zaun eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen. Welche Maße hat das optimale Rechteck?

  • ● 25 m × 25 m (Quadrat)
  • ○ 50 m × 0 m
  • ○ 30 m × 20 m
  • ○ 40 m × 10 m
Umfang: 2a + 2b = 100, also b = 50−a. Fläche: A(a) = a(50−a) = 50a − a². A'(a) = 50 − 2a = 0 → a = 25. Also a = b = 25 m.
Zahleneingabe #14 20s ▶ Testen

Extremwertaufgabe: f(x) = −x² + 6x − 5. Bestimme den maximalen Funktionswert.

✓ Antwort: 4
f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3. f''(3) = −2 < 0 → Maximum. f(3) = −9 + 18 − 5 = 4.
Schwer
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

f(x) = −x⁴ + 2x². Auf welchem Intervall ist f streng monoton steigend?

  • ● [0; 1]
  • ○ [1; 2]
  • ○ [−2; −1]
  • ○ [−1; 0]
f'(x) = −4x³+4x = 4x(1−x²). Nullstellen: x = −1, 0, 1. Für x ∈ (0, 1): 4·(pos)·(pos) > 0. Also ist f auf [0; 1] streng monoton steigend.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ein offener Quader (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 32 cm³ Volumen haben. Bestimme die Seitenlänge a (in cm), die den Materialverbrauch minimiert.

✓ Antwort: 4
V = a²h = 32, also h = 32/a². Oberfläche: O = a² + 4ah = a² + 128/a. O'(a) = 2a − 128/a² = 0 → a³ = 64 → a = 4.