Spezielle Funktionseigenschaften
Welche Bedingung muss für Achsensymmetrie des Graphen von f bezüglich der y-Achse gelten?
Erklärung: Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet, dass f eine gerade Funktion ist: f(−x) = f(x). Die Bedingung f(−x) = −f(x) beschreibt Punktsymmetrie zum Ursprung.
Der Graph von f(x) = x³ − 2x ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Erklärung: Richtig. f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). Also ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph von f(x) = x² wird durch g(x) = (x−3)² um ___ Einheiten nach rechts verschoben.
Erklärung: Die Ersetzung x → x−3 verschiebt den Graphen um 3 Einheiten nach rechts.
Wie entsteht der Graph von g(x) = 2·f(x) aus dem Graphen von f?
Erklärung: Die Multiplikation des Funktionswerts mit 2 streckt den Graphen in y-Richtung mit Faktor 2. Jeder y-Wert wird verdoppelt.
f(x) = x⁴ + x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Erklärung: Richtig. f(−x) = (−x)⁴ + (−x)² = x⁴ + x² = f(x). Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist f eine gerade Funktion.
Welche Transformation beschreibt den Übergang von f(x) zu f(x) + 5?
Erklärung: f(x) + 5 addiert zu jedem Funktionswert den Wert 5, was den Graphen um 5 Einheiten nach oben verschiebt.
Der Graph von f(x) = x² wird an der x-Achse gespiegelt. Die neue Funktion lautet g(x) = ___.
Erklärung: Spiegelung an der x-Achse: g(x) = −f(x) = −x².
f(x) = x³ + x² ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Erklärung: Falsch. f(−x) = −x³ + x². Damit f(−x) = −f(x) gilt, müsste −x³ + x² = −x³ − x² sein, also x² = −x², was nur für x = 0 stimmt.
Der Graph von g(x) = f(2x) entsteht aus dem Graphen von f durch:
Erklärung: f(2x) staucht den Graphen in x-Richtung mit Faktor 1/2, da jeder x-Wert halbiert wird, um denselben y-Wert zu erreichen.
Gegeben f(x) = x². Der Graph wird um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Wie lautet g(1)?
Erklärung: g(x) = (x−2)² + 3. g(1) = (1−2)² + 3 = 1 + 3 = 4.
Um den Graphen von f(x) an der y-Achse zu spiegeln, ersetzt man x durch ___.
Erklärung: Die Spiegelung an der y-Achse ergibt g(x) = f(−x).
Bei den Transformationen f(x) → f(x−2) + 3 ist die Reihenfolge (erst verschieben in x, dann in y) egal.
Erklärung: Richtig. Die x-Verschiebung und die y-Verschiebung sind unabhängig voneinander und können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden.
Gegeben f(x) = eˣ. Welche Funktion entsteht durch Spiegelung an der y-Achse und anschließende Verschiebung um 1 nach oben?
Erklärung: Spiegelung an der y-Achse: x → −x, also e⁻ˣ. Dann +1 nach oben: g(x) = e⁻ˣ + 1.
Für f(x) = x⁵ − 3x³: Berechne f(−2) + f(2).
Erklärung: f ist eine ungerade Funktion (nur ungerade Exponenten): f(−x) = −f(x). Also f(−2) = −f(2) und f(−2) + f(2) = 0.
Welche Reihenfolge kann bei Transformationen eine Rolle spielen?
Erklärung: Streckung und Verschiebung in derselben Richtung sind nicht kommutativ: 2·f(x)+3 ≠ 2·(f(x)+3) = 2·f(x)+6.