Spezielle Funktionseigenschaften

Special Function Properties

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben
AnalysisSymmetrieAbbildungenKerncurriculum

Funktionseigenschaften rechnerisch prüfen statt nur am Bild ablesen: Achsensymmetrie über f(−x) = f(x), Punktsymmetrie über f(−x) = −f(x), dazu Verschiebung, Streckung und Spiegelung als Operationen am Term. Der Kern ist das Übersetzen zwischen Termstruktur und Graphenform in beide Richtungen — bei ganzrationalen Funktionen genügt dafür der Blick auf gerade und ungerade Exponenten. Vertieft die in Klasse 10 eingeführten Transformationen und liefert das Werkzeug, mit dem später Kurvendiskussionen abgekürzt werden.

Voraussetzungen (2)

Funktionstransformationen
Klasse 10
›
Ganzrationale Funktionen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Bedingung muss für Achsensymmetrie des Graphen von f bezüglich der y-Achse gelten?

  • ● f(−x) = f(x) für alle x
  • ○ f(−x) = −f(x) für alle x
  • ○ f(x) = f(x+1) für alle x
  • ○ f'(0) = 0
Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet, dass f eine gerade Funktion ist: f(−x) = f(x). Die Bedingung f(−x) = −f(x) beschreibt Punktsymmetrie zum Ursprung.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x³ − 2x ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

✓ Wahr
Richtig. f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). Also ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² wird durch g(x) = (x−3)² um ___ Einheiten nach rechts verschoben.

✓ Antwort: 3
Die Ersetzung x → x−3 verschiebt den Graphen um 3 Einheiten nach rechts.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Wie entsteht der Graph von g(x) = 2·f(x) aus dem Graphen von f?

  • ● Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
  • ○ Streckung in x-Richtung mit Faktor 2
  • ○ Verschiebung um 2 nach oben
  • ○ Verschiebung um 2 nach rechts
Die Multiplikation des Funktionswerts mit 2 streckt den Graphen in y-Richtung mit Faktor 2. Jeder y-Wert wird verdoppelt.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

f(x) = x⁴ + x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

✓ Wahr
Richtig. f(−x) = (−x)⁴ + (−x)² = x⁴ + x² = f(x). Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist f eine gerade Funktion.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Welche Transformation beschreibt den Übergang von f(x) zu f(x) + 5?

  • ● Verschiebung um 5 nach oben
  • ○ Verschiebung um 5 nach rechts
  • ○ Streckung in y-Richtung mit Faktor 5
  • ○ Spiegelung an der x-Achse
f(x) + 5 addiert zu jedem Funktionswert den Wert 5, was den Graphen um 5 Einheiten nach oben verschiebt.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² wird an der x-Achse gespiegelt. Die neue Funktion lautet g(x) = ___.

✓ Antwort: -x²
Spiegelung an der x-Achse: g(x) = −f(x) = −x².
Lückentext #8 15s ▶ Testen

Um den Graphen von f(x) an der y-Achse zu spiegeln, ersetzt man x durch ___.

✓ Antwort: -x
Die Spiegelung an der y-Achse ergibt g(x) = f(−x).
Mittel
Wahr / Falsch #1 25s ▶ Testen

f(x) = x³ + x² ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

✓ Falsch
Falsch. f(−x) = −x³ + x². Damit f(−x) = −f(x) gilt, müsste −x³ + x² = −x³ − x² sein, also x² = −x², was nur für x = 0 stimmt.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Graph von g(x) = f(2x) entsteht aus dem Graphen von f durch:

  • ● Stauchung in x-Richtung mit Faktor ½
  • ○ Streckung in x-Richtung mit Faktor 2
  • ○ Verschiebung um 2 nach links
  • ○ Streckung in y-Richtung mit Faktor 2
f(2x) staucht den Graphen in x-Richtung mit Faktor 1/2, da jeder x-Wert halbiert wird, um denselben y-Wert zu erreichen.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Gegeben f(x) = x². Der Graph wird um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Wie lautet g(1)?

✓ Antwort: 4
g(x) = (x−2)² + 3. g(1) = (1−2)² + 3 = 1 + 3 = 4.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Bei den Transformationen f(x) → f(x−2) + 3 ist die Reihenfolge (erst verschieben in x, dann in y) egal.

✓ Wahr
Richtig. Die x-Verschiebung und die y-Verschiebung sind unabhängig voneinander und können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Gegeben f(x) = eˣ. Welche Funktion entsteht durch Spiegelung an der y-Achse und anschließende Verschiebung um 1 nach oben?

  • ● g(x) = e⁻ˣ + 1
  • ○ g(x) = −eˣ + 1
  • ○ g(x) = eˣ⁺¹
  • ○ g(x) = e⁻ˣ − 1
Spiegelung an der y-Achse: x → −x, also e⁻ˣ. Dann +1 nach oben: g(x) = e⁻ˣ + 1.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Für f(x) = x⁵ − 3x³: Berechne f(−2) + f(2).

✓ Antwort: 0
f ist eine ungerade Funktion (nur ungerade Exponenten): f(−x) = −f(x). Also f(−2) = −f(2) und f(−2) + f(2) = 0.
Schwer
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Reihenfolge kann bei Transformationen eine Rolle spielen?

  • ● Streckung in y-Richtung und Verschiebung in y-Richtung
  • ○ Verschiebung in x-Richtung und Verschiebung in y-Richtung
  • ○ Spiegelung an der x-Achse und Spiegelung an der y-Achse
  • ○ Keine Reihenfolge spielt je eine Rolle.
Streckung und Verschiebung in derselben Richtung sind nicht kommutativ: 2·f(x)+3 ≠ 2·(f(x)+3) = 2·f(x)+6.