Gebrochen-rationale Funktionen – Vertiefung
Wie lautet die maximale Definitionsmenge von f(x) = (x+1)/(x²−4)?
Erklärung: Der Nenner x²−4 = (x−2)(x+2) wird null für x = 2 und x = −2. Diese Stellen müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.
Die Nullstellen von f(x) = (x²−9)/(x+1) sind x₁ = ___ und x₂ = ___.
Erklärung: Nullstellen: Zähler = 0 → x²−9 = 0 → x = ±3. Prüfung: x = −3 und x = 3 liegen beide in der Definitionsmenge (x ≠ −1).
f(x) = (x²−1)/(x−1) hat bei x = 1 eine Nullstelle.
Erklärung: Falsch. x = 1 liegt nicht in der Definitionsmenge, da der Nenner dort null wird. Der Bruch kann zu (x+1) gekürzt werden, aber bei x = 1 bleibt eine Definitionslücke.
Bestimme die Nullstelle von f(x) = (2x−6)/(x+3).
Erklärung: Zähler = 0: 2x−6 = 0 → x = 3. Da 3 ≠ −3, liegt x = 3 in der Definitionsmenge. Also ist x = 3 die einzige Nullstelle.
f(x) = (x−2)/((x−2)(x+1)). Was liegt bei x = 2 vor?
Erklärung: Der Faktor (x−2) kann gekürzt werden: f(x) = 1/(x+1) für x ≠ 2. Bei x = 2 liegt eine hebbare Lücke vor, keine Polstelle.
Die Definitionsmenge von f(x) = 3/(x²+1) ist D = ___.
Erklärung: x²+1 ≥ 1 > 0 für alle x ∈ ℝ, der Nenner wird also nie null. Die Funktion ist auf ganz ℝ definiert.
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunkts von f(x) = (2x)/(x−1) mit der Geraden y = 4.
Erklärung: Gleichsetzen: 2x/(x−1) = 4. Multiplizieren mit (x−1): 2x = 4(x−1) = 4x−4 → 4 = 2x → x = 2. Probe: f(2) = 4/1 = 4. ✓
In welcher Form liegt der Funktionsterm f(x) = (2x²−8)/(x²−4) vor, nachdem man vollständig gekürzt hat?
Erklärung: 2x²−8 = 2(x²−4) = 2(x−2)(x+2). x²−4 = (x−2)(x+2). Kürzen: f(x) = 2 für x ≠ ±2.
Die Funktion f(x) = (x²+1)/(x−2) hat keine reellen Nullstellen.
Erklärung: Richtig. Nullstellen: Zähler = 0 → x²+1 = 0 → x² = −1. Das hat keine reelle Lösung.
Wie viele Definitionslücken hat f(x) = x/(x³−x)?
Erklärung: Nenner: x³−x = x(x²−1) = x(x−1)(x+1) = 0 für x = 0, x = 1, x = −1. Also drei Definitionslücken.
Der Zähler von f(x) = (x²−5x+6)/(x−2) lässt sich als Produkt (x−2)(x−___) schreiben.
Erklärung: x²−5x+6 = (x−2)(x−3). Also ist der fehlende Faktor (x−3).
Welche Darstellung ist für die Bestimmung der Nullstellen am günstigsten?
Erklärung: Die Nullstellen liegen dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner nicht). Die Linearfaktordarstellung des Zählers zeigt die Nullstellen direkt ab.
Berechne den Funktionswert f(0) für f(x) = (x²+3x−4)/(x²−1).
Erklärung: f(0) = (0+0−4)/(0−1) = −4/(−1) = 4.
Bei f(x) = (x+3)/((x+3)(x−1)) kann man (x+3) kürzen und es bleibt f(x) = 1/(x−1) für alle x.
Erklärung: Falsch. Man kann kürzen, aber nur für x ≠ −3. Die Stelle x = −3 bleibt eine (hebbare) Definitionslücke.
f(x) = (2x+4)/(x+2) vereinfacht sich nach Kürzen zu f(x) = ___ für x ≠ −2.
Erklärung: 2x+4 = 2(x+2). Kürzen: f(x) = 2(x+2)/(x+2) = 2 für x ≠ −2.