Gebrochen-rationale Funktionen – Vertiefung

Rational Functions – Advanced Analysis

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben
AnalysisGebrochen-rationale FunktionenKerncurriculum

Eine gebrochen-rationale Funktion ist über die Struktur von Zähler- und Nennerpolynom bestimmt: Die maximale Definitionsmenge schließt die Nennernullstellen aus, die Nullstellen der Funktion stammen aus dem Zähler, und beide Polynome lassen sich in Linearfaktoren zerlegen. Wo eine Nullstelle steht — im Zähler oder im Nenner —, entscheidet über ihre Rolle. Damit lassen sich auch Schnittpunkte mit anderen Graphen berechnen. Das Grenzverhalten an den Nennernullstellen ist bewusst ausgelagert (Asymptoten und Polstellen).

Voraussetzungen (1)

Ganzrationale Funktionen
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Asymptoten und Polstellen
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lautet die maximale Definitionsmenge von f(x) = (x+1)/(x²−4)?

  • ● ℝ \ {−2; 2}
  • ○ ℝ \ {4}
  • ○ ℝ \ {−1}
  • ○ ℝ
Der Nenner x²−4 = (x−2)(x+2) wird null für x = 2 und x = −2. Diese Stellen müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Die Nullstellen von f(x) = (x²−9)/(x+1) sind x₁ = ___ und x₂ = ___.

✓ Antwort: −3 und 3
Nullstellen: Zähler = 0 → x²−9 = 0 → x = ±3. Prüfung: x = −3 und x = 3 liegen beide in der Definitionsmenge (x ≠ −1).
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = (2x−6)/(x+3).

✓ Antwort: 3
Zähler = 0: 2x−6 = 0 → x = 3. Da 3 ≠ −3, liegt x = 3 in der Definitionsmenge. Also ist x = 3 die einzige Nullstelle.
Lückentext #4 15s ▶ Testen

Die Definitionsmenge von f(x) = 3/(x²+1) ist D = ___.

✓ Antwort: ℝ
x²+1 ≥ 1 > 0 für alle x ∈ ℝ, der Nenner wird also nie null. Die Funktion ist auf ganz ℝ definiert.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x²+1)/(x−2) hat keine reellen Nullstellen.

✓ Wahr
Richtig. Nullstellen: Zähler = 0 → x²+1 = 0 → x² = −1. Das hat keine reelle Lösung.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Der Zähler von f(x) = (x²−5x+6)/(x−2) lässt sich als Produkt (x−2)(x−___) schreiben.

✓ Antwort: 3
x²−5x+6 = (x−2)(x−3). Also ist der fehlende Faktor (x−3).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Darstellung ist für die Bestimmung der Nullstellen am günstigsten?

  • ● Zählerpolynom als Produkt von Linearfaktoren
  • ○ Nennerpolynom als Produkt von Linearfaktoren
  • ○ Polynomdivision durchführen
  • ○ Funktionsterm in Summenschreibweise
Die Nullstellen liegen dort, wo der Zähler null wird (und der Nenner nicht). Die Linearfaktordarstellung des Zählers zeigt die Nullstellen direkt ab.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Berechne den Funktionswert f(0) für f(x) = (x²+3x−4)/(x²−1).

✓ Antwort: 4
f(0) = (0+0−4)/(0−1) = −4/(−1) = 4.
Lückentext #9 15s ▶ Testen

f(x) = (2x+4)/(x+2) vereinfacht sich nach Kürzen zu f(x) = ___ für x ≠ −2.

✓ Antwort: 2
2x+4 = 2(x+2). Kürzen: f(x) = 2(x+2)/(x+2) = 2 für x ≠ −2.
Mittel
Wahr / Falsch #1 25s ▶ Testen

f(x) = (x²−1)/(x−1) hat bei x = 1 eine Nullstelle.

✓ Falsch
Falsch. x = 1 liegt nicht in der Definitionsmenge, da der Nenner dort null wird. Der Bruch kann zu (x+1) gekürzt werden, aber bei x = 1 bleibt eine Definitionslücke.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

f(x) = (x−2)/((x−2)(x+1)). Was liegt bei x = 2 vor?

  • ● Eine hebbare Definitionslücke
  • ○ Eine Polstelle
  • ○ Eine Nullstelle
  • ○ Ein Maximum
Der Faktor (x−2) kann gekürzt werden: f(x) = 1/(x+1) für x ≠ 2. Bei x = 2 liegt eine hebbare Lücke vor, keine Polstelle.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunkts von f(x) = (2x)/(x−1) mit der Geraden y = 4.

✓ Antwort: 2
Gleichsetzen: 2x/(x−1) = 4. Multiplizieren mit (x−1): 2x = 4(x−1) = 4x−4 → 4 = 2x → x = 2. Probe: f(2) = 4/1 = 4. ✓
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

In welcher Form liegt der Funktionsterm f(x) = (2x²−8)/(x²−4) vor, nachdem man vollständig gekürzt hat?

  • ● f(x) = 2 (für x ≠ ±2)
  • ○ f(x) = 2x/(x−2)
  • ○ f(x) = (2x+4)/(x+2)
  • ○ Der Term lässt sich nicht kürzen.
2x²−8 = 2(x²−4) = 2(x−2)(x+2). x²−4 = (x−2)(x+2). Kürzen: f(x) = 2 für x ≠ ±2.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Wie viele Definitionslücken hat f(x) = x/(x³−x)?

✓ Antwort: 3
Nenner: x³−x = x(x²−1) = x(x−1)(x+1) = 0 für x = 0, x = 1, x = −1. Also drei Definitionslücken.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Bei f(x) = (x+3)/((x+3)(x−1)) kann man (x+3) kürzen und es bleibt f(x) = 1/(x−1) für alle x.

✓ Falsch
Falsch. Man kann kürzen, aber nur für x ≠ −3. Die Stelle x = −3 bleibt eine (hebbare) Definitionslücke.