Graphisches Ableiten — vom Graphen von f zum Graphen von f′
Der Graph von f hat bei x = 2 einen Hochpunkt. Was macht der Graph von f′ bei x = 2?
Erklärung: Am Hochpunkt ist die Steigung 0, davor positiv, danach negativ — f′ hat dort also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −.
Wo der Graph von f steigt, verläuft der Graph von f′ oberhalb der x-Achse.
Erklärung: Richtig. Steigendes f bedeutet positive Steigung, also f′(x) > 0 — der f′-Graph liegt über der x-Achse.
Wo f seinen größten Wert hat, hat auch f′ seinen größten Wert.
Erklärung: Falsch — das ist die Höhe-Steigung-Verwechslung. Am Hochpunkt von f ist f′ gerade null. f′ ist dort am größten, wo f am steilsten steigt.
f(x) = 2x + 1 ist eine Gerade. Wie sieht der Graph von f′ aus?
Erklärung: Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung 2, also ist f′(x) = 2 konstant — eine waagrechte Gerade.
Der Graph von f′ ist immer eine verschobene Kopie des Graphen von f.
Erklärung: Falsch. f′ zeigt die Steigung von f, nicht die Höhe — die beiden Graphen haben im Allgemeinen völlig verschiedene Formen (Parabel → Gerade, x³ → Parabel).
Der Graph von f′ verläuft auf dem Intervall [1; 4] unterhalb der x-Achse. Was folgt für f?
Erklärung: f′ < 0 heißt negative Steigung, also fällt f dort. Über die Höhe (Vorzeichen) von f selbst sagt f′ nichts aus.
An einer Extremstelle x₀ von f (mit glattem Graphen) gilt f′(x₀) = ___.
Erklärung: Am Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0.
Der Graph von f′ hat bei x = 3 ein Maximum mit f′(3) > 0. Was bedeutet das für den Graphen von f?
Erklärung: Ein Maximum von f′ ist die Stelle größter Steigung von f — nicht der größte Wert von f. (Der Graph von f hat dort eine Wendestelle.)
Wenn f′(x₀) = 0 ist, hat f bei x₀ immer einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Erklärung: Falsch. Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, aber der Graph hat im Ursprung nur einen Terrassenpunkt — die Steigung ist null ohne Vorzeichenwechsel.
Welcher Graph gehört zu f′, wenn f(x) = x² die Normalparabel ist?
Erklärung: Links vom Scheitel fällt die Parabel (f′ < 0), rechts steigt sie (f′ > 0), am Scheitel ist f′ = 0 — das ergibt die Gerade f′(x) = 2x.
Zu f(x) = x³ gehört als f′-Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel im Ursprung.
Erklärung: Richtig. x³ steigt links und rechts vom Ursprung (f′ > 0) und hat im Ursprung Steigung 0 — genau das Bild von f′(x) = 3x².
f ist auf einem Intervall konstant. Wie verläuft der Graph von f′ dort?
Erklärung: Konstante Funktion heißt Steigung 0 an jeder Stelle — f′ liegt auf der x-Achse.
Aus dem Graphen von f′ kann man die Funktionswerte f(x) direkt ablesen.
Erklärung: Falsch. f′ enthält nur die Steigungsinformation — f ist daraus nur bis auf eine Konstante bestimmt. Verschiebt man f nach oben, bleibt f′ gleich.
Der Graph von f′ schneidet die x-Achse bei x = 1 von − nach +. Was hat der Graph von f bei x = 1?
Erklärung: Vor x = 1 fällt f (f′ < 0), danach steigt f (f′ > 0) — das ist ein Tiefpunkt. Vorzeichenwechsel von f′ ⇒ Extremum von f.