Graphisches Ableiten — vom Graphen von f zum Graphen von f′

Graphical Differentiation — from the Graph of f to the Graph of f′

Mathematik Klasse 11 14 Aufgaben
AnalysisAbleitungenGraphenKerncurriculum

Wo f steigt, verläuft f′ oberhalb der x-Achse; wo f einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, schneidet f′ die x-Achse; wo f am steilsten ist, hat f′ ein Extremum. So lässt sich qualitativ zwischen dem Graphen von f und dem von f′ übersetzen, ohne einen Term abzuleiten. Zwei Fehlvorstellungen sind gut belegt: die Höhe-Steigung-Verwechslung („wo f am größten ist, ist auch f′ am größten", Monk 1992) und das Lesen des f′-Graphen als verschobene Kopie von f. Das qualitative Arbeiten vor dem Kalkül (Danckwerts & Vogel) ist die Sinngrundlage der formalen Monotonie- und Extremstellenkriterien.

Voraussetzungen (1)

Differenzenquotient und Ableitung
Klasse 11
›

Ermöglicht (1)

Extremstellen und Monotonie
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Graph von f hat bei x = 2 einen Hochpunkt. Was macht der Graph von f′ bei x = 2?

  • ● Er schneidet die x-Achse und wechselt von + nach −.
  • ○ Er hat dort selbst einen Hochpunkt.
  • ○ Er verläuft dort oberhalb der x-Achse.
  • ○ Er hat dort eine Lücke.
Am Hochpunkt ist die Steigung 0, davor positiv, danach negativ — f′ hat dort also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −.
Wahr / Falsch #2 12s ▶ Testen

Wo der Graph von f steigt, verläuft der Graph von f′ oberhalb der x-Achse.

✓ Wahr
Richtig. Steigendes f bedeutet positive Steigung, also f′(x) > 0 — der f′-Graph liegt über der x-Achse.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

f(x) = 2x + 1 ist eine Gerade. Wie sieht der Graph von f′ aus?

  • ● Eine waagrechte Gerade auf Höhe y = 2.
  • ○ Eine Gerade mit Steigung 2 durch den Ursprung.
  • ○ Eine waagrechte Gerade auf Höhe y = 1.
  • ○ Eine Parabel.
Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung 2, also ist f′(x) = 2 konstant — eine waagrechte Gerade.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Graph von f′ verläuft auf dem Intervall [1; 4] unterhalb der x-Achse. Was folgt für f?

  • ● f fällt auf [1; 4] streng monoton.
  • ○ f steigt auf [1; 4] streng monoton.
  • ○ f ist auf [1; 4] negativ.
  • ○ f hat bei x = 1 und x = 4 Nullstellen.
f′ < 0 heißt negative Steigung, also fällt f dort. Über die Höhe (Vorzeichen) von f selbst sagt f′ nichts aus.
Lückentext #5 10s ▶ Testen

An einer Extremstelle x₀ von f (mit glattem Graphen) gilt f′(x₀) = ___.

✓ Antwort: 0
Am Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Graph gehört zu f′, wenn f(x) = x² die Normalparabel ist?

  • ● Eine steigende Gerade durch den Ursprung.
  • ○ Eine fallende Gerade durch den Ursprung.
  • ○ Eine nach oben geöffnete Parabel.
  • ○ Eine waagrechte Gerade.
Links vom Scheitel fällt die Parabel (f′ < 0), rechts steigt sie (f′ > 0), am Scheitel ist f′ = 0 — das ergibt die Gerade f′(x) = 2x.
Multiple Choice #7 12s ▶ Testen

f ist auf einem Intervall konstant. Wie verläuft der Graph von f′ dort?

  • ● Auf der x-Achse (f′ = 0).
  • ○ Auf einer waagrechten Geraden oberhalb der x-Achse.
  • ○ Parallel zum Graphen von f.
  • ○ Das kann man nicht wissen.
Konstante Funktion heißt Steigung 0 an jeder Stelle — f′ liegt auf der x-Achse.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Der Graph von f′ schneidet die x-Achse bei x = 1 von − nach +. Was hat der Graph von f bei x = 1?

  • ● Einen Tiefpunkt.
  • ○ Einen Hochpunkt.
  • ○ Eine Nullstelle.
  • ○ Einen Wendepunkt.
Vor x = 1 fällt f (f′ < 0), danach steigt f (f′ > 0) — das ist ein Tiefpunkt. Vorzeichenwechsel von f′ ⇒ Extremum von f.
Mittel
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Wo f seinen größten Wert hat, hat auch f′ seinen größten Wert.

✓ Falsch
Falsch — das ist die Höhe-Steigung-Verwechslung. Am Hochpunkt von f ist f′ gerade null. f′ ist dort am größten, wo f am steilsten steigt.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Graph von f′ ist immer eine verschobene Kopie des Graphen von f.

✓ Falsch
Falsch. f′ zeigt die Steigung von f, nicht die Höhe — die beiden Graphen haben im Allgemeinen völlig verschiedene Formen (Parabel → Gerade, x³ → Parabel).
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Der Graph von f′ hat bei x = 3 ein Maximum mit f′(3) > 0. Was bedeutet das für den Graphen von f?

  • ● f steigt bei x = 3 am steilsten.
  • ○ f hat bei x = 3 einen Hochpunkt.
  • ○ f hat bei x = 3 eine Nullstelle.
  • ○ f fällt bei x = 3.
Ein Maximum von f′ ist die Stelle größter Steigung von f — nicht der größte Wert von f. (Der Graph von f hat dort eine Wendestelle.)
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Wenn f′(x₀) = 0 ist, hat f bei x₀ immer einen Hoch- oder Tiefpunkt.

✓ Falsch
Falsch. Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, aber der Graph hat im Ursprung nur einen Terrassenpunkt — die Steigung ist null ohne Vorzeichenwechsel.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Zu f(x) = x³ gehört als f′-Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel im Ursprung.

✓ Wahr
Richtig. x³ steigt links und rechts vom Ursprung (f′ > 0) und hat im Ursprung Steigung 0 — genau das Bild von f′(x) = 3x².
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Aus dem Graphen von f′ kann man die Funktionswerte f(x) direkt ablesen.

✓ Falsch
Falsch. f′ enthält nur die Steigungsinformation — f ist daraus nur bis auf eine Konstante bestimmt. Verschiebt man f nach oben, bleibt f′ gleich.