Für welche Funktion gilt lim(x→+∞) f(x) = 3?

Erklärung: lim(x→+∞) f(x) = 3 heißt: Für immer größere x kommen die Funktionswerte beliebig nahe an 3 heran. Bei 3 + 1/x wird 1/x beliebig klein. 3x wächst über alle Grenzen; 1/(x − 3) hat bei x = 3 einen Pol und strebt für x → +∞ gegen 0.

Jede ganzrationale Funktion vom Grad n ≥ 1 divergiert für x → +∞.

Erklärung: Richtig. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der führende Term das Verhalten für x → ±∞. Da der führende Koeffizient ≠ 0 ist, strebt |f(x)| → ∞.

Für f(x) = 5x³ − 2x gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___

Erklärung: Der führende Term 5x³ dominiert. Da der Koeffizient 5 > 0 und der Grad ungerade ist, gilt f(x) → +∞ für x → +∞.

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 NICHT stetig?

Erklärung: Für x → 0⁻ ergibt sich 0+1 = 1, für x = 0 ergibt sich 0−1 = −1. Da die Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist f an x = 0 nicht stetig.

Für f(x) = −3x⁴ + 7x² − 1: Was ist der Grenzwert lim(x→−∞) f(x)? Gib −∞ als -999 an.

Erklärung: Der führende Term ist −3x⁴. Da x⁴ immer positiv ist und der Koeffizient −3 negativ, gilt f(x) → −∞ für x → −∞.

Die Funktion f(x) = 1/x konvergiert für x → +∞ gegen 0.

Erklärung: Richtig. Für x → +∞ wird 1/x immer kleiner und nähert sich beliebig nah an 0 an: lim(x→+∞) 1/x = 0.

Welche Aussage zur Stetigkeit ist richtig?

Erklärung: Polynomfunktionen sind auf ganz ℝ stetig, da sie keine Sprünge oder Lücken aufweisen. Die anderen Aussagen sind falsch (z. B. f(x) = x² + 1 hat keine Nullstelle, ist aber stetig).

Für f(x) = 2x⁵ − x gilt: lim(x→−∞) f(x) = ___

Erklärung: Der führende Term ist 2x⁵. Für x → −∞ ist x⁵ → −∞, also 2x⁵ → −∞.

Was beschreibt die Streifen-Vorstellung bei der Konvergenz?

Erklärung: Dies ist die anschauliche Epsilon-Vorstellung: Egal wie schmal man den Streifen um den Grenzwert wählt, ab einem bestimmten x₀ bleibt der Graph in diesem Streifen.

Die Funktion f(x) = (−1)ˣ konvergiert für x → +∞ (x ∈ ℤ).

Erklärung: Falsch. f springt zwischen −1 und +1 hin und her. Da sich die Funktionswerte keinem festen Wert annähern, divergiert f.

Gegeben: f(x) = { 2x+1 für x < 1; ax für x ≥ 1 }. Welchen Wert muss a haben, damit f an x = 1 stetig ist?

Erklärung: Stetigkeit erfordert lim(x→1⁻) f(x) = f(1). lim(x→1⁻) = 2·1+1 = 3. f(1) = a·1 = a. Also a = 3.

Für f(x) = −x⁶ + 4x³ gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___

Erklärung: Der führende Term −x⁶ dominiert. Da x⁶ → +∞ und der Koeffizient −1 negativ ist, gilt f(x) → −∞.

Eine Funktion divergiert für x → +∞. Was bedeutet das?

Erklärung: Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Die Funktionswerte können gegen ±∞ streben oder beliebig schwanken.

Die abschnittsweise definierte Funktion f(x) = { x² für x ≤ 2; 4 für x > 2 } ist an der Stelle x = 2 stetig.

Erklärung: Richtig. lim(x→2⁻) = 2² = 4 und f(2) = 2² = 4 und lim(x→2⁺) = 4. Alle stimmen überein, also ist f stetig bei x = 2.

Gegeben f(x) = { x+3 für x < 2; 2x+c für x ≥ 2 }. Für welchen Wert von c ist f stetig bei x = 2?

Erklärung: lim(x→2⁻) = 2+3 = 5. f(2) = 2·2+c = 4+c. Stetigkeit: 4+c = 5, also c = 1.

Welche Art von Unstetigkeit liegt bei f(x) = {1 für x ≤ 0; 2 für x > 0} an x = 0 vor?

Erklärung: lim(x→0⁻) = 1 und lim(x→0⁺) = 2. Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte existieren, sind aber verschieden → Sprungstelle.

Bestimme lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).

Erklärung: (x²−4)/(x−2) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 für x ≠ 2. lim(x→2) (x+2) = 4.

Der Zwischenwertsatz besagt: Ist f stetig auf [a,b] und gilt f(a) < 0 < f(b), dann hat f mindestens eine Nullstelle in (a,b).

Erklärung: Richtig. Stetige Funktionen nehmen auf einem abgeschlossenen Intervall jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

lim(x→0) sin(x)/x = ___.

Erklärung: Dies ist ein fundamentaler Grenzwert der Analysis. Er wird oft geometrisch über Flächenvergleiche am Einheitskreis begründet.

Die Funktion f(x) = 1/x² hat bei x = 0:

Erklärung: 1/x² > 0 für alle x ≠ 0 und 1/x² → +∞ für x → 0. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.

Aufgabe 1 von 20