Grenzverhalten und Stetigkeit

Für welche Funktion gilt lim(x→+∞) f(x) = 3?

• ○ f(x) = 3x
• ○ f(x) = 1/(x − 3)
• ● f(x) = 3 + 1/x

Jede ganzrationale Funktion vom Grad n ≥ 1 divergiert für x → +∞.

Für f(x) = 5x³ − 2x gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___

Für f(x) = −3x⁴ + 7x² − 1: Was ist der Grenzwert lim(x→−∞) f(x)? Gib −∞ als -999 an.

Die Funktion f(x) = 1/x konvergiert für x → +∞ gegen 0.

Für f(x) = 2x⁵ − x gilt: lim(x→−∞) f(x) = ___

Für f(x) = −x⁶ + 4x³ gilt: lim(x→+∞) f(x) = ___

Eine Funktion divergiert für x → +∞. Was bedeutet das?

• ● Die Funktion besitzt keinen endlichen Grenzwert für x → +∞.
• ○ Die Funktion ist nicht stetig.
• ○ Die Funktion hat keine Nullstelle.
• ○ Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 NICHT stetig?

• ○ f(x) = x² + 1
• ○ f(x) = |x|
• ● f(x) = { x+1 für x < 0; x−1 für x ≥ 0 }
• ○ f(x) = sin(x)

Welche Aussage zur Stetigkeit ist richtig?

• ● Jede Polynomfunktion ist auf ganz ℝ stetig.
• ○ Stetige Funktionen haben immer Nullstellen.
• ○ Stetigkeit bedeutet, dass f'(x) existiert.
• ○ Stetige Funktionen sind immer monoton.

Was beschreibt die Streifen-Vorstellung bei der Konvergenz?

• ● Ab einem bestimmten x-Wert verlässt der Graph einen beliebig schmalen Streifen um den Grenzwert nicht mehr.
• ○ Die Funktion hat einen horizontalen Streifen als Definitionsbereich.
• ○ Der Graph einer konvergenten Funktion liegt immer innerhalb eines Streifens.
• ○ Die Ableitung bleibt innerhalb eines Streifens um 0.

Die Funktion f(x) = (−1)ˣ konvergiert für x → +∞ (x ∈ ℤ).

Gegeben: f(x) = { 2x+1 für x < 1; ax für x ≥ 1 }. Welchen Wert muss a haben, damit f an x = 1 stetig ist?

Die abschnittsweise definierte Funktion f(x) = { x² für x ≤ 2; 4 für x > 2 } ist an der Stelle x = 2 stetig.

Welche Art von Unstetigkeit liegt bei f(x) = {1 für x ≤ 0; 2 für x > 0} an x = 0 vor?

• ● Sprungstelle (Sprungunstetigkeit)
• ○ Hebbare Lücke
• ○ Polstelle
• ○ Oszillierende Unstetigkeit

Bestimme lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).

Der Zwischenwertsatz besagt: Ist f stetig auf [a,b] und gilt f(a) < 0 < f(b), dann hat f mindestens eine Nullstelle in (a,b).

lim(x→0) sin(x)/x = ___.

Die Funktion f(x) = 1/x² hat bei x = 0:

• ● eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (f→+∞ von beiden Seiten)
• ○ eine Sprungstelle
• ○ eine hebbare Lücke
• ○ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Gegeben f(x) = { x+3 für x < 2; 2x+c für x ≥ 2 }. Für welchen Wert von c ist f stetig bei x = 2?