Grenzwerte von Zahlenfolgen

Erklärung: (n + 1)/n = 1 + 1/n: Zu jedem ε > 0 liegen ab einem Index N alle Glieder im Streifen (1 − ε, 1 + ε) – obwohl die Folge fällt und 1 nie erreicht. (−1)ⁿ trifft zwar immer wieder 1, springt aber zu −1 und konvergiert nicht. 1/2 − 1/n steigt und bleibt unter 1, strebt aber gegen 1/2.

Erklärung: Für n → ∞ wird 1/n beliebig klein, also lim(n→∞) 1/n = 0.

Erklärung: Falsch. Die Folge aₙ = (−1)ⁿ ist beschränkt (zwischen −1 und 1), aber nicht konvergent.

Erklärung: Teile Zähler und Nenner durch n: (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Für n → ∞: 3/1 = 3.

Erklärung: Eine obere Schranke S begrenzt alle Folgeglieder nach oben.

Erklärung: Das Monotoniekriterium: Monotone und beschränkte Folgen konvergieren.

Erklärung: Teile durch n²: (1 + 3/n)/(2 − 1/n²). Für n → ∞: 1/2 = 0,5.

Erklärung: Richtig. Die Folgeglieder wachsen unbeschränkt: zu jeder Schranke S gibt es ein N mit aₙ > S für alle n > N.

Erklärung: Der Grenzwert eines Produkts konvergenter Folgen ist das Produkt der Grenzwerte.

Erklärung: Teile durch n: (5 − 2/n)/(3 + 7/n) → 5/3 ≈ 1,67.

Erklärung: Für |q| < 1 gilt lim(n→∞) qⁿ = 0. Hier: (1/2)ⁿ → 0.

Erklärung: Richtig. Der Quotientensatz gilt, sofern der Grenzwert des Nenners ungleich null ist.

Erklärung: Teile durch n³: (2 + 1/n²)/(1 + 5/n) → 2/1 = 2.

Erklärung: Dies ist die klassische Definition der Euler'schen Zahl: e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2,71828.

Erklärung: 1/n < 0,01 ⟺ n > 100. Also ab n = 101.

Erklärung: Richtig. Jede konvergente Folge ist beschränkt — aber nicht umgekehrt.

Erklärung: |aₙ − 0| = 1/n → 0. Der Betrag der Glieder geht gegen 0, also konvergiert die Folge trotz Vorzeichenwechsel.

Erklärung: Teile durch n²: (4 − 1/n + 3/n²)/(2 + 5/n²) → 4/2 = 2.

Erklärung: Die Folge (−1)ⁿ springt zwischen −1 und 1 und hat daher keinen Grenzwert. Die anderen konvergieren (gegen 0, 1/2 bzw. 3).

Erklärung: √(n²+1)/n = √(1 + 1/n²) → √1 = 1.

Erklärung: Richtig. Wenn cₙ zwischen zwei Folgen mit gleichem Grenzwert g eingeklemmt wird, konvergiert cₙ ebenfalls gegen g.