Grenzwerte von Zahlenfolgen

Limits of Sequences

Mathematik Klasse 11 21 Aufgaben
FolgenGrenzwerteKonvergenzEpsilon-DefinitionKerncurriculum

Eine Folge konvergiert gegen g, wenn in jeder noch so kleinen ε-Umgebung von g fast alle Folgenglieder liegen — das ist der Kern der ε-Definition. Schranken und Monotonie sichern Konvergenz, die Grenzwertsätze berechnen den Grenzwert. Zwei verbreitete Fehlbilder (Tall & Vinner 1981) sind falsch: dass eine Folge ihren Grenzwert „nie erreichen darf" (konstante Folgen erreichen ihn) und dass beschränkt schon konvergent hieße ((−1)ⁿ ist beschränkt, aber divergent). Auf diesem Grenzwertbegriff baut später der Differentialquotient auf.

Voraussetzungen (1)

Zahlenfolgen
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Folge konvergiert gegen 1?

  • ○ aₙ = (−1)ⁿ
  • ● aₙ = (n + 1)/n
  • ○ aₙ = 1/2 − 1/n
(n + 1)/n = 1 + 1/n: Zu jedem ε > 0 liegen ab einem Index N alle Glieder im Streifen (1 − ε, 1 + ε) – obwohl die Folge fällt und 1 nie erreicht. (−1)ⁿ trifft zwar immer wieder 1, springt aber zu −1 und konvergiert nicht. 1/2 − 1/n steigt und bleibt unter 1, strebt aber gegen 1/2.
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Die Folge aₙ = 1/n konvergiert gegen ___.

✓ Antwort: 0
Für n → ∞ wird 1/n beliebig klein, also lim(n→∞) 1/n = 0.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Jede beschränkte Folge ist konvergent.

✓ Falsch
Falsch. Die Folge aₙ = (−1)ⁿ ist beschränkt (zwischen −1 und 1), aber nicht konvergent.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Bestimme den Grenzwert der Folge aₙ = (3n + 1)/(n + 2) für n → ∞.

✓ Antwort: 3
Teile Zähler und Nenner durch n: (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Für n → ∞: 3/1 = 3.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn:

  • ● es eine Zahl S gibt mit aₙ ≤ S für alle n.
  • ○ die Folgeglieder immer größer werden.
  • ○ die Folge konvergiert.
  • ○ aₙ > 0 für alle n.
Eine obere Schranke S begrenzt alle Folgeglieder nach oben.
Lückentext #6 10s ▶ Testen

Jede monoton steigende und nach oben beschränkte Folge ist ___.

✓ Antwort: konvergent
Das Monotoniekriterium: Monotone und beschränkte Folgen konvergieren.
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

Die Folge aₙ = n² divergiert bestimmt gegen +∞.

✓ Wahr
Richtig. Die Folgeglieder wachsen unbeschränkt: zu jeder Schranke S gibt es ein N mit aₙ > S für alle n > N.
Multiple Choice #8 10s ▶ Testen

Welcher Grenzwertsatz wird hier angewendet: lim(aₙ · bₙ) = lim(aₙ) · lim(bₙ)?

  • ● Produktsatz für Grenzwerte
  • ○ Summensatz für Grenzwerte
  • ○ Quotientensatz für Grenzwerte
  • ○ Einschließungssatz
Der Grenzwert eines Produkts konvergenter Folgen ist das Produkt der Grenzwerte.
Lückentext #9 10s ▶ Testen

Der Grenzwert der geometrischen Folge aₙ = (1/2)ⁿ ist ___.

✓ Antwort: 0
Für |q| < 1 gilt lim(n→∞) qⁿ = 0. Hier: (1/2)ⁿ → 0.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Wenn lim(n→∞) aₙ = a und lim(n→∞) bₙ = b mit b ≠ 0, dann gilt lim(n→∞) aₙ/bₙ = a/b.

✓ Wahr
Richtig. Der Quotientensatz gilt, sofern der Grenzwert des Nenners ungleich null ist.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Bestimme lim(n→∞) (n² + 3n)/(2n² − 1).

✓ Antwort: 0.5
Teile durch n²: (1 + 3/n)/(2 − 1/n²). Für n → ∞: 1/2 = 0,5.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Bestimme lim(n→∞) (5n − 2)/(3n + 7).

✓ Antwort: 1.67
Teile durch n: (5 − 2/n)/(3 + 7/n) → 5/3 ≈ 1,67.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Bestimme lim(n→∞) (2n³ + n)/(n³ + 5n²).

✓ Antwort: 2
Teile durch n³: (2 + 1/n²)/(1 + 5/n) → 2/1 = 2.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Die Folge aₙ = (1 + 1/n)ⁿ konvergiert gegen:

  • ● die Euler'sche Zahl e ≈ 2,718
  • ○ 1
  • ○ +∞
  • ○ π
Dies ist die klassische Definition der Euler'schen Zahl: e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2,71828.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Für aₙ = 1/n und ε = 0,01: Ab welchem n gilt |aₙ − 0| < ε?

✓ Antwort: 101
1/n < 0,01 ⟺ n > 100. Also ab n = 101.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt.

✓ Wahr
Richtig. Jede konvergente Folge ist beschränkt — aber nicht umgekehrt.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

Die Folge aₙ = (−1)ⁿ/n konvergiert gegen ___, obwohl sie alterniert.

✓ Antwort: 0
|aₙ − 0| = 1/n → 0. Der Betrag der Glieder geht gegen 0, also konvergiert die Folge trotz Vorzeichenwechsel.
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Bestimme lim(n→∞) (4n² − n + 3)/(2n² + 5).

✓ Antwort: 2
Teile durch n²: (4 − 1/n + 3/n²)/(2 + 5/n²) → 4/2 = 2.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Folge divergiert?

  • ● aₙ = (−1)ⁿ
  • ○ aₙ = 1/n²
  • ○ aₙ = (n+1)/(2n)
  • ○ aₙ = 3 − 1/n
Die Folge (−1)ⁿ springt zwischen −1 und 1 und hat daher keinen Grenzwert. Die anderen konvergieren (gegen 0, 1/2 bzw. 3).
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Der Einschließungssatz (Sandwich-Theorem) besagt: Wenn aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ und lim aₙ = lim bₙ = g, dann gilt auch lim cₙ = g.

✓ Wahr
Richtig. Wenn cₙ zwischen zwei Folgen mit gleichem Grenzwert g eingeklemmt wird, konvergiert cₙ ebenfalls gegen g.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Bestimme lim(n→∞) (√(n²+1))/n. Hinweis: Teile durch n.

✓ Antwort: 1
√(n²+1)/n = √(1 + 1/n²) → √1 = 1.