Kombinatorik
Berechne 5! (5 FakultÀt).
ErklÀrung: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Per Definition gilt 0! = ___.
ErklÀrung: 0! = 1 ist eine Konvention, die viele Formeln vereinheitlicht.
Auf wie viele Arten können 4 Personen in einer Reihe angeordnet werden?
ErklÀrung: Die Anzahl der Permutationen von 4 Elementen ist 4! = 24.
Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge der ausgewÀhlten Elemente keine Rolle.
ErklÀrung: Richtig. Bei Kombinationen zÀhlt nur, welche Elemente gewÀhlt werden, nicht in welcher Reihenfolge.
Berechne den Binomialkoeffizienten C(6,2) = 6 ĂŒber 2.
ErklÀrung: C(6,2) = 6!/(2!·4!) = (6·5)/(2·1) = 30/2 = 15.
Die Anzahl der k-Variationen ohne Wiederholung aus n Elementen ist n!/(nâk)!. FĂŒr n = 5, k = 3 ergibt sich ___.
ErklĂ€rung: 5!/(5â3)! = 120/2 = 60.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 10 SchĂŒlern ein 3er-Team zu bilden (Reihenfolge unwichtig)?
ErklÀrung: C(10,3) = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120.
Ein Zahlenschloss hat 4 Stellen mit je 10 Ziffern (0-9). Wie viele Codes gibt es?
ErklÀrung: 10⎠= 10000. Hier handelt es sich um Variationen mit Wiederholung.
Es gilt C(n,k) = C(n,nâk) fĂŒr alle 0 †k †n.
ErklĂ€rung: Richtig. C(n,k) = n!/(k!(nâk)!) = n!/((nâk)!k!) = C(n,nâk). Symmetrie des Binomialkoeffizienten.
Berechne C(8,3).
ErklÀrung: C(8,3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 336/6 = 56.
Wie viele verschiedene Anordnungen des Wortes MAMA gibt es?
ErklĂ€rung: MAMA hat 4 Buchstaben mit 2ĂM und 2ĂA. Permutationen mit Wiederholung: 4!/(2!·2!) = 24/4 = 6.
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, bei denen nâ gleich sind und nâ gleich sind, ist n!/(nâ! · ___).
ErklĂ€rung: Permutationen mit Wiederholung: n!/(nâ!·nâ!·âŠ) korrigiert fĂŒr nicht unterscheidbare Elemente.
Aus einer Urne mit 7 verschiedenen Kugeln werden 2 nacheinander ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Wie viele geordnete Ergebnisse gibt es?
ErklÀrung: Variationen ohne Wiederholung: 7·6 = 42.
Welche Aussage beschreibt eine Variation MIT Wiederholung?
ErklĂ€rung: Variationen mit Wiederholung: aus n Elementen werden k ausgewĂ€hlt, Reihenfolge zĂ€hlt, Wiederholung erlaubt â ná” Möglichkeiten.
Berechne C(5,0) + C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5).
ErklĂ€rung: Die Summe aller Binomialkoeffizienten C(n,k) fĂŒr k = 0 bis n ergibt 2âż. Also 2â” = 32.
C(n,1) = n fĂŒr alle n â„ 1.
ErklĂ€rung: Richtig. C(n,1) = n!/((nâ1)!·1!) = n. Aus n Elementen ein einziges auszuwĂ€hlen geht auf n Arten.
Ein EisverkÀufer hat 8 Sorten. Wie viele verschiedene 3-Kugel-Eisbecher gibt es, wenn jede Sorte nur einmal gewÀhlt werden darf und die Reihenfolge egal ist?
ErklÀrung: C(8,3) = 56.
Nach dem Binomischen Lehrsatz ist (a+b)Âł = aÂł + 3aÂČb + ___ + bÂł.
ErklĂ€rung: (a+b)Âł = C(3,0)aÂł + C(3,1)aÂČb + C(3,2)abÂČ + C(3,3)bÂł = aÂł + 3aÂČb + 3abÂČ + bÂł.
Beim Lotto '6 aus 49' gibt es C(49,6) Möglichkeiten. Welcher Wert ist das?
ErklÀrung: C(49,6) = 49!/(6!·43!) = 13 983 816.
Wie viele Diagonalen hat ein konvexes 8-Eck?
ErklĂ€rung: Diagonalen = C(8,2) â 8 = 28 â 8 = 20. (Alle Verbindungen minus die 8 Seiten.)
Die Formel ná” gibt die Anzahl der Variationen MIT Wiederholung von k aus n Elementen an.
ErklĂ€rung: Richtig. Bei k-maliger Auswahl aus n Elementen mit ZurĂŒcklegen und Beachtung der Reihenfolge gibt es ná” Möglichkeiten.
Wie viele verschiedene Anordnungen der Buchstaben des Wortes ROLLE gibt es?
ErklÀrung: 5 Buchstaben, davon L doppelt: 5!/2! = 120/2 = 60.
Pascals Dreieck zeigt die Binomialkoeffizienten. Die 5. Zeile (n=4) lautet:
ErklÀrung: Zeile n=4: C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1.
C(7,3) + C(7,4) = C(8,k). Bestimme k.
ErklÀrung: C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1). Also C(7,3) + C(7,4) = C(8,4). k = 4.