Kombinatorik

Combinatorics

Mathematik Klasse 11 24 Aufgaben
KombinatorikPermutationenKombinationenFakultÀtBinomialkoeffizientKerncurriculum

Kombinatorik zĂ€hlt Möglichkeiten systematisch mit dem ZĂ€hlprinzip: Bei mehreren unabhĂ€ngigen Stufen multiplizieren sich die Anzahlen. Permutationen, Variationen und Kombinationen unterscheidet man ĂŒber zwei Leitfragen — „mit oder ohne Wiederholung?" und „kommt es auf die Reihenfolge an?" —, nicht ĂŒber das Abrufen von vier Formeln. FakultĂ€t und Binomialkoeffizient entstehen aus dem ZĂ€hlen selbst: n! Anordnungen von n Objekten, C(n, k) k-elementige Teilmengen. Die klassische HĂŒrde ist die Modellwahl, nicht die Rechnung: Lottozahlen sind Kombinationen, Zahlenschlösser Variationen. Der Binomialkoeffizient trĂ€gt spĂ€ter die Binomialverteilung.

Ermöglicht (1)

Binomialverteilung — Formel, Erwartungswert und Varianz
Klasse 12
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Leicht
Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

Berechne 5! (5 FakultÀt).

✓ Antwort: 120
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
LĂŒckentext #2 10s ▶ Testen

Per Definition gilt 0! = ___.

✓ Antwort: 1
0! = 1 ist eine Konvention, die viele Formeln vereinheitlicht.
Multiple Choice #3 10s ▶ Testen

Auf wie viele Arten können 4 Personen in einer Reihe angeordnet werden?

  • ● 24
  • ○ 16
  • ○ 12
  • ○ 4
Die Anzahl der Permutationen von 4 Elementen ist 4! = 24.
Wahr / Falsch #4 10s ▶ Testen

Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge der ausgewÀhlten Elemente keine Rolle.

✓ Wahr
Richtig. Bei Kombinationen zÀhlt nur, welche Elemente gewÀhlt werden, nicht in welcher Reihenfolge.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Berechne den Binomialkoeffizienten C(6,2) = 6 ĂŒber 2.

✓ Antwort: 15
C(6,2) = 6!/(2!·4!) = (6·5)/(2·1) = 30/2 = 15.
LĂŒckentext #6 15s ▶ Testen

Die Anzahl der k-Variationen ohne Wiederholung aus n Elementen ist n!/(n−k)!. FĂŒr n = 5, k = 3 ergibt sich ___.

✓ Antwort: 60
5!/(5−3)! = 120/2 = 60.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 10 SchĂŒlern ein 3er-Team zu bilden (Reihenfolge unwichtig)?

  • ● 120
  • ○ 720
  • ○ 30
  • ○ 1000
C(10,3) = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Ein Zahlenschloss hat 4 Stellen mit je 10 Ziffern (0-9). Wie viele Codes gibt es?

✓ Antwort: 10000
10⁎ = 10000. Hier handelt es sich um Variationen mit Wiederholung.
Zahleneingabe #9 15s ▶ Testen

Berechne C(8,3).

✓ Antwort: 56
C(8,3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 336/6 = 56.
Zahleneingabe #10 15s ▶ Testen

Aus einer Urne mit 7 verschiedenen Kugeln werden 2 nacheinander ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Wie viele geordnete Ergebnisse gibt es?

✓ Antwort: 42
Variationen ohne Wiederholung: 7·6 = 42.
Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Welche Aussage beschreibt eine Variation MIT Wiederholung?

  • ● Reihenfolge wichtig, Elemente dĂŒrfen mehrfach gewĂ€hlt werden.
  • ○ Reihenfolge unwichtig, Elemente nur einmal.
  • ○ Reihenfolge wichtig, Elemente nur einmal.
  • ○ Reihenfolge unwichtig, Elemente mehrfach.
Variationen mit Wiederholung: aus n Elementen werden k ausgewĂ€hlt, Reihenfolge zĂ€hlt, Wiederholung erlaubt → nᔏ Möglichkeiten.
Wahr / Falsch #12 10s ▶ Testen

C(n,1) = n fĂŒr alle n ≄ 1.

✓ Wahr
Richtig. C(n,1) = n!/((n−1)!·1!) = n. Aus n Elementen ein einziges auszuwĂ€hlen geht auf n Arten.
Zahleneingabe #13 15s ▶ Testen

Ein EisverkÀufer hat 8 Sorten. Wie viele verschiedene 3-Kugel-Eisbecher gibt es, wenn jede Sorte nur einmal gewÀhlt werden darf und die Reihenfolge egal ist?

✓ Antwort: 56
C(8,3) = 56.
Wahr / Falsch #14 15s ▶ Testen

Die Formel nᔏ gibt die Anzahl der Variationen MIT Wiederholung von k aus n Elementen an.

✓ Wahr
Richtig. Bei k-maliger Auswahl aus n Elementen mit ZurĂŒcklegen und Beachtung der Reihenfolge gibt es nᔏ Möglichkeiten.
Mittel
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Es gilt C(n,k) = C(n,n−k) fĂŒr alle 0 ≀ k ≀ n.

✓ Wahr
Richtig. C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) = n!/((n−k)!k!) = C(n,n−k). Symmetrie des Binomialkoeffizienten.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Anordnungen des Wortes MAMA gibt es?

  • ● 6
  • ○ 24
  • ○ 12
  • ○ 4
MAMA hat 4 Buchstaben mit 2×M und 2×A. Permutationen mit Wiederholung: 4!/(2!·2!) = 24/4 = 6.
LĂŒckentext #3 15s ▶ Testen

Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, bei denen n₁ gleich sind und n₂ gleich sind, ist n!/(n₁! · ___).

✓ Antwort: n₂!
Permutationen mit Wiederholung: n!/(n₁!·n₂!· ) korrigiert fĂŒr nicht unterscheidbare Elemente.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Berechne C(5,0) + C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5).

✓ Antwort: 32
Die Summe aller Binomialkoeffizienten C(n,k) fĂŒr k = 0 bis n ergibt 2ⁿ. Also 2⁔ = 32.
LĂŒckentext #5 15s ▶ Testen

Nach dem Binomischen Lehrsatz ist (a+b)Âł = aÂł + 3aÂČb + ___ + bÂł.

✓ Antwort: 3abÂČ
(a+b)Âł = C(3,0)aÂł + C(3,1)aÂČb + C(3,2)abÂČ + C(3,3)bÂł = aÂł + 3aÂČb + 3abÂČ + bÂł.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Beim Lotto '6 aus 49' gibt es C(49,6) Möglichkeiten. Welcher Wert ist das?

  • ● 13 983 816
  • ○ 49 000 000
  • ○ 6 000 000
  • ○ 720
C(49,6) = 49!/(6!·43!) = 13 983 816.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Wie viele Diagonalen hat ein konvexes 8-Eck?

✓ Antwort: 20
Diagonalen = C(8,2) − 8 = 28 − 8 = 20. (Alle Verbindungen minus die 8 Seiten.)
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Anordnungen der Buchstaben des Wortes ROLLE gibt es?

✓ Antwort: 60
5 Buchstaben, davon L doppelt: 5!/2! = 120/2 = 60.
Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Pascals Dreieck zeigt die Binomialkoeffizienten. Die 5. Zeile (n=4) lautet:

  • ● 1, 4, 6, 4, 1
  • ○ 1, 3, 3, 1
  • ○ 1, 5, 10, 10, 5, 1
  • ○ 1, 4, 4, 1
Zeile n=4: C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1.
Schwer
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

C(7,3) + C(7,4) = C(8,k). Bestimme k.

✓ Antwort: 4
C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1). Also C(7,3) + C(7,4) = C(8,4). k = 4.