Der Abstand Delta
Wie groß ist der Abstand Δx der markierten Punkte P₀ und P₁ auf der x-Achse?
Erklärung: P₀ steht bei x₀ = 0,5, P₁ bei x₁ = 3: Δx = x₁ − x₀ = 3 − 0,5 = 2,5. Die 3,5 addiert die Stellen (0,5 + 3), die 3 ist nur die Stelle x₁.
P₀ und P₁ liegen auf verschiedenen Seiten der y-Achse. Wie groß ist Δx?
Erklärung: P₀ steht bei x₀ = −1, P₁ bei x₁ = 2: Δx = x₁ − x₀ = 2 − (−1) = 3. Die 1 addiert die Stellen (2 + (−1)); die −3 vertauscht die Reihenfolge (x₀ − x₁).
x₀ = 1,5 und x₁ = 4. Berechne Δx.
Erklärung: Δx = x₁ − x₀ = 4 − 1,5 = 2,5.
Ein Läufer startet bei Kilometer 2,5 und hört bei Kilometer 9 auf. Wie lang ist seine Strecke Δx (in km)?
Erklärung: Ende minus Anfang: Δx = 9 − 2,5 = 6,5 km. Die Summe 11,5 wäre keine Strecke.
x₀ = 2 und Δx = 3. Wie lautet x₁?
Erklärung: x₁ = x₀ + Δx = 2 + 3 = 5. Die 6 multipliziert (2 · 3), die −1 rechnet x₀ − Δx.
Für x₀ = 3 und Δx = 0,5 gilt x₁ = 2,5.
Erklärung: Δx wird zu x₀ addiert: x₁ = 3 + 0,5 = 3,5. Die 2,5 entsteht, wenn man Δx subtrahiert; dann läge P₁ links von P₀.
x₀ = 0,75 und Δx = 1,5. Berechne x₁.
Erklärung: x₁ = x₀ + Δx = 0,75 + 1,5 = 2,25.
P₀ liegt bei x₀ = 1,25 und P₁ soll bei x₁ = 3 liegen. Wie groß muss Δx sein?
Erklärung: Aus x₁ = x₀ + Δx folgt Δx = x₁ − x₀ = 3 − 1,25 = 1,75.
g(x) = x², x₀ = 1 und Δx = 2. Was ist g(x₀ + Δx)?
Erklärung: x₀ + Δx = 3, also g(3) = 3² = 9. Die 3 rechnet g(x₀) + Δx = 1 + 2, die 5 rechnet g(x₀) + g(Δx) = 1 + 4.
Es ist x₀ = 1 und Δx = 2. Welcher der grauen Punkte ist P₁ = (x₀ + Δx | f(x₀ + Δx))?
Erklärung: x₁ = x₀ + Δx = 1 + 2 = 3, also ist P₁ der Punkt über x = 3: das ist C. B liegt über x = 2 (das wäre Δx als Stelle gelesen), A über x = −1 (x₀ − Δx).
Für g(x) = x², x₀ = 1 und Δx = 1 gilt g(x₀ + Δx) = g(x₀) + g(Δx).
Erklärung: Links: g(1 + 1) = g(2) = 4. Rechts: g(1) + g(1) = 1 + 1 = 2. Ein Funktionswert an der Summe der Stellen ist nicht die Summe der Funktionswerte.
f(x) = x² − 1, x₀ = 2 und Δx = 0,5. Berechne f(x₀ + Δx).
Erklärung: x₀ + Δx = 2,5 und f(2,5) = 2,5² − 1 = 6,25 − 1 = 5,25.
Der Graph von f ist abgebildet. Es ist x₀ = 1 und Δx = 2. Wie hoch liegt der zweite Punkt P₁(x₀ + Δx | f(x₀ + Δx))?
Erklärung: x₁ = 1 + 2 = 3; über x = 3 liegt der Graph in der Höhe 3,5. P₁ hat also die Höhe f(3) = 3,5.
Für g(x) = x² − 2x ist x₀ = 1 und Δx = 2. Berechne x₁, g(x₀) und g(x₀ + Δx) und schreibe P₀ und P₁ als Punkte auf. Zeige mit Zahlen, dass g(x₀ + Δx) nicht dasselbe ist wie g(x₀) + Δx.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst x₁ = 1 + 2 = 3, dann g(3) = 9 − 6 = 3. Der Term wird an der neuen Stelle ausgewertet; g(x₀) + Δx = 1 zeigt den typischen Fehler.
x₀ = 2 und h = 0,5. Wie groß ist x₁ = x₀ + h?
2 + 0,5 = 2,5.
x₀ = 3 und h = 0,2. Wie groß ist x₁ = x₀ + h?
3 + 0,2 = 3,2.