Der Abstand Delta

The Distance Delta

Mathematik Klasse 11 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungen

Der zweite Punkt liegt um Δx rechts vom ersten: Δx = x₁ − x₀ ist der Abstand der beiden Stellen, und umgekehrt ist x₁ = x₀ + Δx. Die Station rechnet Δx und x₁ aus, auch mit negativen Stellen, und setzt die zweite Stelle in den Term ein: f(x₀ + Δx) ist der Funktionswert an der Stelle x₁. Sie räumt aus, Δx als Summe oder verdreht zu bilden und f(x₀ + Δx) als f(x₀) + Δx oder f(x₀) + f(Δx) zu lesen (Orton 1983). Bereitet Δy und den Differenzenquotienten vor.

Die beiden Punkte haben einen Abstand auf der x-Achse. Diesen Abstand nennen wir $Δ x$ (gesprochen: „Delta x“). Δ ist das griechische D, für Differenz: Δx ist kein Produkt aus Δ und x, sondern ein einziges Zeichen für den Unterschied zweier Stellen. Den Namen kennst du vom Steigungsdreieck aus Klasse 8, dessen Breite ebenso heißt. Es gilt: $x_{1}$ $=$ $x_{0}$ $+$ $Δ x$ .

Bewege die beiden Regler und beobachte den $Δ x$ -Chip: Der Abstand der beiden Punkte ist einfach $x_{1}$ minus $x_{0}$ . Der Regler $x_{0}$ verschiebt beide Punkte gemeinsam, und Δx bleibt gleich; der Regler $Δ x$ verschiebt nur den zweiten Punkt, und Δx ändert sich.

Bewege zuerst nur x₀: Welcher Chip bleibt gleich? Ändere dann Δx: Welcher Punkt bleibt stehen?

Damit hat der zweite Punkt die Koordinaten $(x_{0} + Δ x ∣ f (x_{0} + Δ x))$ : Erst rechnest du die Stelle $x_{1}$ aus, dann setzt du sie in den Term ein. Für $x_{0} = 1$ und $Δ x = 2$ ist $x_{1} = 3$ und $f (3) = 3, 5$ . Nicht verwechseln: $f (x_{0} + Δ x)$ ist nicht $f (x_{0}) + Δ x$ — hier wäre das $0, 5 + 2 = 2, 5$ , der Graph liegt aber bei 3,5. Die beiden Chips $f (x_{1})$ und $f (x_{0}) + Δ x$ zeigen den Unterschied für jede Lage der Punkte.

Voraussetzungen (1)

Ein Punkt auf dem Graphen

Klasse 11

›

Ermöglicht (1)

Differenzenquotient

Klasse 11

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand Δx der markierten Punkte P₀ und P₁ auf der x-Achse?

● 2,5
○ 3,5
○ 3

P₀ steht bei x₀ = 0,5, P₁ bei x₁ = 3: Δx = x₁ − x₀ = 3 − 0,5 = 2,5. Die 3,5 addiert die Stellen (0,5 + 3), die 3 ist nur die Stelle x₁.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

P₀ und P₁ liegen auf verschiedenen Seiten der y-Achse. Wie groß ist Δx?

● 3
○ 1
○ −3

P₀ steht bei x₀ = −1, P₁ bei x₁ = 2: Δx = x₁ − x₀ = 2 − (−1) = 3. Die 1 addiert die Stellen (2 + (−1)); die −3 vertauscht die Reihenfolge (x₀ − x₁).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

x₀ = 2 und Δx = 3. Wie lautet x₁?

● 5
○ 6
○ −1

x₁ = x₀ + Δx = 2 + 3 = 5. Die 6 multipliziert (2 · 3), die −1 rechnet x₀ − Δx.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für x₀ = 3 und Δx = 0,5 gilt x₁ = 2,5.

✓ Falsch

Δx wird zu x₀ addiert: x₁ = 3 + 0,5 = 3,5. Die 2,5 entsteht, wenn man Δx subtrahiert; dann läge P₁ links von P₀.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

g(x) = x², x₀ = 1 und Δx = 2. Was ist g(x₀ + Δx)?

● 9
○ 3
○ 5

x₀ + Δx = 3, also g(3) = 3² = 9. Die 3 rechnet g(x₀) + Δx = 1 + 2, die 5 rechnet g(x₀) + g(Δx) = 1 + 4.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Es ist x₀ = 1 und Δx = 2. Welcher der grauen Punkte ist P₁ = (x₀ + Δx | f(x₀ + Δx))?

● C
○ A
○ B

x₁ = x₀ + Δx = 1 + 2 = 3, also ist P₁ der Punkt über x = 3: das ist C. B liegt über x = 2 (das wäre Δx als Stelle gelesen), A über x = −1 (x₀ − Δx).

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für g(x) = x², x₀ = 1 und Δx = 1 gilt g(x₀ + Δx) = g(x₀) + g(Δx).

✓ Falsch

Links: g(1 + 1) = g(2) = 4. Rechts: g(1) + g(1) = 1 + 1 = 2. Ein Funktionswert an der Summe der Stellen ist nicht die Summe der Funktionswerte.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

x₀ = 1,5 und x₁ = 4. Berechne Δx.

✓ Antwort: 2.5

Δx = x₁ − x₀ = 4 − 1,5 = 2,5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

x₀ = 0,75 und Δx = 1,5. Berechne x₁.

✓ Antwort: 2.25

x₁ = x₀ + Δx = 0,75 + 1,5 = 2,25.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

f(x) = x² − 1, x₀ = 2 und Δx = 0,5. Berechne f(x₀ + Δx).

✓ Antwort: 5.25

x₀ + Δx = 2,5 und f(2,5) = 2,5² − 1 = 6,25 − 1 = 5,25.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

x₀ = 2 und h = 0,5. Wie groß ist x₁ = x₀ + h?

✓ Antwort: 2.5

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

x₀ = 3 und h = 0,2. Wie groß ist x₁ = x₀ + h?

✓ Antwort: 3.2

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Läufer startet bei Kilometer 2,5 und hört bei Kilometer 9 auf. Wie lang ist seine Strecke Δx (in km)?

✓ Antwort: 6.5

Ende minus Anfang: Δx = 9 − 2,5 = 6,5 km. Die Summe 11,5 wäre keine Strecke.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

P₀ liegt bei x₀ = 1,25 und P₁ soll bei x₁ = 3 liegen. Wie groß muss Δx sein?

✓ Antwort: 1.75

Aus x₁ = x₀ + Δx folgt Δx = x₁ − x₀ = 3 − 1,25 = 1,75.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Graph von f ist abgebildet. Es ist x₀ = 1 und Δx = 2. Wie hoch liegt der zweite Punkt P₁(x₀ + Δx | f(x₀ + Δx))?

✓ Antwort: 3.5

x₁ = 1 + 2 = 3; über x = 3 liegt der Graph in der Höhe 3,5. P₁ hat also die Höhe f(3) = 3,5.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für g(x) = x² − 2x ist x₀ = 1 und Δx = 2. Berechne x₁, g(x₀) und g(x₀ + Δx) und schreibe P₀ und P₁ als Punkte auf. Zeige mit Zahlen, dass g(x₀ + Δx) nicht dasselbe ist wie g(x₀) + Δx. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x₁ = x₀ + Δx = 3. g(x₀) = g(1) = 1 − 2 = −1, also P₀(1 | −1). g(x₀ + Δx) = g(3) = 9 − 6 = 3, also P₁(3 | 3). Dagegen ist g(x₀) + Δx = −1 + 2 = 1 ≠ 3: Man muss die Stelle x₁ = 3 in den Term einsetzen, nicht Δx auf den alten Funktionswert addieren.

Erst x₁ = 1 + 2 = 3, dann g(3) = 9 − 6 = 3. Der Term wird an der neuen Stelle ausgewertet; g(x₀) + Δx = 1 zeigt den typischen Fehler.