Ein Punkt auf dem Graphen
Welche Koordinaten hat der markierte Punkt P des abgebildeten Graphen?
Erklärung: P liegt über der Stelle x = 3 in der Höhe 3,5, also P(3 | 3,5): erst die Stelle, dann der Funktionswert. (3,5 | 3) vertauscht beide Zahlen; (3 | 3) liest die Höhe nur bis zur Gitterlinie.
Für eine Funktion g gilt g(2) = 3. Der Punkt des Graphen über der Stelle 2 heißt dann (3 | 2).
Erklärung: Der Punkt über der Stelle x₀ = 2 heißt (x₀ | g(x₀)) = (2 | 3): erst die Stelle, dann der Funktionswert. (3 | 2) hätte die Stelle 3 und den Funktionswert 2.
Der abgebildete Punkt P liegt auf dem Graphen einer Funktion h. Wie groß ist h(6)?
Erklärung: Die zweite Koordinate eines Graphenpunkts ist der Funktionswert: P liegt bei (6 | −2) = (x₀ | h(x₀)), also h(6) = −2. Die 6 ist die Stelle.
Die abgebildeten Punkte P und Q liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Um wie viele Einheiten liegt Q höher als P?
Erklärung: P liegt bei (1 | 4), Q bei (3 | 10). Die Höhe eines Punkts ist seine y-Koordinate: 10 − 4 = 6. Die x-Koordinaten (1 und 3) sagen nur, wo die Punkte stehen, nicht wie hoch.
g(x) = x² − 2x. Welchen Wert hat g(3)?
Erklärung: g(3) = 3² − 2 · 3 = 9 − 6 = 3. Die 7 entsteht, wenn man 2x zu 2 verkürzt (9 − 2), die 15 bei 9 + 6 (Vorzeichen von −2x übersehen).
Für f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) gilt f(3) = 12,5.
Erklärung: Erst potenzieren, dann multiplizieren: 3³ = 27 und 3 · 3² = 27, also f(3) = 0,5 · (27 − 27 + 6 + 1) = 3,5. Die 12,5 entsteht, wenn man 3x² als 3 · 3 = 9 statt 3 · 3² = 27 rechnet.
h(x) = 2x² − 3x. Berechne h(−2).
Erklärung: 2 · (−2)² − 3 · (−2) = 2 · 4 + 6 = 14. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, und −3 · (−2) = +6.
Ein Ball fliegt auf der Bahn b(x) = 2x − 0,5x² (x und b in m). Wie hoch ist der Ball in 3 m Entfernung vom Abwurf (in m)?
Erklärung: b(3) = 2 · 3 − 0,5 · 3² = 6 − 4,5 = 1,5. Der Ball ist dann 1,5 m hoch.
Berechne für f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) die Funktionswerte an den Stellen x = −1; 0; 1; 2; 3 und schreibe die fünf Punkte als (x | f(x)) auf. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Welche Punkte liegen auf gleicher Höhe?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Setze jede Stelle in den Term ein (Potenzen zuerst) und schreibe den Punkt als (Stelle | Funktionswert). Drei Punkte haben denselben Funktionswert 0,5.
Welchen Wert hat f(−1) laut abgebildetem Graphen?
Erklärung: Über der Stelle x = −1 liegt der Graph unter der x-Achse, in der Höhe −2,5: f(−1) = −2,5. Die −1 ist die Stelle selbst, die 2,5 verliert das Vorzeichen.
Laut Graph gilt f(0) = f(1).
Erklärung: Die Punkte über x = 0 und x = 1 liegen beide auf der Höhe 0,5: f(0) = f(1) = 0,5. Verschiedene Stellen dürfen denselben Funktionswert haben.
Lies f(0) am abgebildeten Graphen ab (auf 0,5 genau).
Erklärung: Über der Stelle x = 0 liegt der Graph in der Höhe 0,5: f(0) = 0,5.
Um wie viele Einheiten liegt der rote Punkt höher als der blaue Punkt?
Erklärung: Der rote Punkt hat die Höhe f(3) = 3,5, der blaue f(1) = 0,5. Der Unterschied ist 3,5 − 0,5 = 3 (nicht der Abstand 3 − 1 = 2 der Stellen).
f(x) = x². Wie groß ist f(3)?
3² = 9.