Ein Punkt auf dem Graphen

A Point on the Graph

Mathematik Klasse 11 14 Aufgaben
AnalysisAbleitungen

Ein Punkt des Graphen hat zwei Koordinaten mit verschiedenen Rollen: die Stelle x₀ und den Funktionswert f(x₀) als Höhe des Graphen darüber. Die Station schreibt den Punkt als (x₀ | f(x₀)), berechnet f(x₀) durch Einsetzen in den Term (auch bei negativen Stellen) und liest ihn am Graphen ab. Sie räumt das Vertauschen von Stelle und Funktionswert und Vorzeichenfehler beim Einsetzen aus (Clement 1989; Orton 1983). Bereitet den zweiten Punkt (x₁ | f(x₁)) und damit die Sekante vor.

Wähle eine Stelle auf der x-Achse. Die Funktion liefert den zugehörigen Wert . Der Punkt auf dem Graphen ist also .

Die beiden Zahlen haben verschiedene Rollen: sagt, wo du auf der x-Achse stehst, sagt, wie hoch der Graph dort liegt. Rechnerisch setzt du in den Term ein: Aus folgt der Punkt . Vertausche die Zahlen nicht — wäre ein ganz anderer Punkt.

Bewege den Regler und beobachte: Für jedes gibt es genau ein . Die Wert-Chips unter der Figur zeigen die aktuellen Werte von und . Bestimme für und .

Bewege den Regler, um P₀ entlang der Kurve zu schieben.

Am Graphen liest du ab: von senkrecht nach oben bis zur Kurve, dann waagerecht zur y-Achse. Die Höhe der Kurve über ist der Funktionswert. Bei negativen Stellen setzt du beim Rechnen Klammern: Für ist .

Ermöglicht (3)

Der Abstand Delta
Klasse 11
›
Die Sekante
Klasse 11
›
Zwei Punkte auf dem Graphen
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Koordinaten hat der markierte Punkt P des abgebildeten Graphen?

  • ● (3 | 3,5)
  • ○ (3,5 | 3)
  • ○ (3 | 3)
P liegt über der Stelle x = 3 in der Höhe 3,5, also P(3 | 3,5): erst die Stelle, dann der Funktionswert. (3,5 | 3) vertauscht beide Zahlen; (3 | 3) liest die Höhe nur bis zur Gitterlinie.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für eine Funktion g gilt g(2) = 3. Der Punkt des Graphen über der Stelle 2 heißt dann (3 | 2).

✓ Falsch
Der Punkt über der Stelle x₀ = 2 heißt (x₀ | g(x₀)) = (2 | 3): erst die Stelle, dann der Funktionswert. (3 | 2) hätte die Stelle 3 und den Funktionswert 2.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

g(x) = x² − 2x. Welchen Wert hat g(3)?

  • ● 3
  • ○ 7
  • ○ 15
g(3) = 3² − 2 · 3 = 9 − 6 = 3. Die 7 entsteht, wenn man 2x zu 2 verkürzt (9 − 2), die 15 bei 9 + 6 (Vorzeichen von −2x übersehen).
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) gilt f(3) = 12,5.

✓ Falsch
Erst potenzieren, dann multiplizieren: 3³ = 27 und 3 · 3² = 27, also f(3) = 0,5 · (27 − 27 + 6 + 1) = 3,5. Die 12,5 entsteht, wenn man 3x² als 3 · 3 = 9 statt 3 · 3² = 27 rechnet.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat f(−1) laut abgebildetem Graphen?

  • ● −2,5
  • ○ −1
  • ○ 2,5
Über der Stelle x = −1 liegt der Graph unter der x-Achse, in der Höhe −2,5: f(−1) = −2,5. Die −1 ist die Stelle selbst, die 2,5 verliert das Vorzeichen.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Laut Graph gilt f(0) = f(1).

✓ Wahr
Die Punkte über x = 0 und x = 1 liegen beide auf der Höhe 0,5: f(0) = f(1) = 0,5. Verschiedene Stellen dürfen denselben Funktionswert haben.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der abgebildete Punkt P liegt auf dem Graphen einer Funktion h. Wie groß ist h(6)?

✓ Antwort: -2
Die zweite Koordinate eines Graphenpunkts ist der Funktionswert: P liegt bei (6 | −2) = (x₀ | h(x₀)), also h(6) = −2. Die 6 ist die Stelle.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

h(x) = 2x² − 3x. Berechne h(−2).

✓ Antwort: 14
2 · (−2)² − 3 · (−2) = 2 · 4 + 6 = 14. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, und −3 · (−2) = +6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Lies f(0) am abgebildeten Graphen ab (auf 0,5 genau).

✓ Antwort: 0.5
Über der Stelle x = 0 liegt der Graph in der Höhe 0,5: f(0) = 0,5.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

f(x) = x². Wie groß ist f(3)?

✓ Antwort: 9
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die abgebildeten Punkte P und Q liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Um wie viele Einheiten liegt Q höher als P?

✓ Antwort: 6
P liegt bei (1 | 4), Q bei (3 | 10). Die Höhe eines Punkts ist seine y-Koordinate: 10 − 4 = 6. Die x-Koordinaten (1 und 3) sagen nur, wo die Punkte stehen, nicht wie hoch.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Ball fliegt auf der Bahn b(x) = 2x − 0,5x² (x und b in m). Wie hoch ist der Ball in 3 m Entfernung vom Abwurf (in m)?

✓ Antwort: 1.5
b(3) = 2 · 3 − 0,5 · 3² = 6 − 4,5 = 1,5. Der Ball ist dann 1,5 m hoch.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Berechne für f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) die Funktionswerte an den Stellen x = −1; 0; 1; 2; 3 und schreibe die fünf Punkte als (x | f(x)) auf. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Welche Punkte liegen auf gleicher Höhe? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(−1) = 0,5 · (−1 − 3 − 2 + 1) = −2,5; f(0) = 0,5; f(1) = 0,5 · (1 − 3 + 2 + 1) = 0,5; f(2) = 0,5 · (8 − 12 + 4 + 1) = 0,5; f(3) = 0,5 · (27 − 27 + 6 + 1) = 3,5. Punkte: (−1 | −2,5), (0 | 0,5), (1 | 0,5), (2 | 0,5), (3 | 3,5). Auf gleicher Höhe (y = 0,5) liegen die Punkte bei x = 0, 1 und 2.
Setze jede Stelle in den Term ein (Potenzen zuerst) und schreibe den Punkt als (Stelle | Funktionswert). Drei Punkte haben denselben Funktionswert 0,5.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Um wie viele Einheiten liegt der rote Punkt höher als der blaue Punkt?

✓ Antwort: 3
Der rote Punkt hat die Höhe f(3) = 3,5, der blaue f(1) = 0,5. Der Unterschied ist 3,5 − 0,5 = 3 (nicht der Abstand 3 − 1 = 2 der Stellen).