Die Sekante
Der Graph von f enthÀlt die Punkte A(1 | 0,5) und B(3 | 3,5). Was ist eine Sekante von f durch A und B?
ErklĂ€rung: Die Sekante ist die ganze Gerade durch zwei Punkte des Graphen: A und B liegen auf f (f(1) = 0,5, f(3) = 3,5). Die Strecke von A nach B ist nur ein StĂŒck davon; C(3 | 2) liegt nicht auf dem Graphen, denn f(3) = 3,5.
Die abgebildete Gerade geht durch die markierten Punkte Pâ und Pâ des Graphen. Wie viele Punkte hat sie insgesamt mit dem Graphen gemeinsam?
ErklÀrung: Die Gerade y = 0,5 trifft den Graphen bei x = 0, x = 1 und x = 2, denn f(0) = f(1) = f(2) = 0,5. Nur zwei der drei Punkte sind markiert: Eine Sekante darf den Graphen noch ein weiteres Mal treffen.
Die Sekante durch Pâ und Pâ ist die Strecke zwischen den beiden Punkten.
ErklĂ€rung: Eine Sekante ist eine ganze Gerade: Sie lĂ€uft ĂŒber Pâ und Pâ hinaus in beide Richtungen. Die Strecke zwischen den Punkten ist nur ein Teil von ihr.
Die Sekante durch zwei Punkte des Graphen ist keine Strecke, sondern eine ___.
ErklÀrung: Eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen; sie geht nach beiden Seiten unbegrenzt weiter.
Die markierten Punkte A, B und C liegen auf dem Graphen von f. Wie viele verschiedene Sekanten gehen durch je zwei dieser Punkte?
ErklÀrung: A(0 | 0,5), B(1 | 0,5) und C(2 | 0,5) haben alle die Höhe 0,5 und liegen auf derselben waagerechten Geraden y = 0,5. Die Sekanten AB, AC und BC sind dieselbe Gerade: Es gibt genau eine.
Pâ bleibt fest, Pâ wandert auf dem Graphen nach rechts. Um welchen Punkt dreht sich die Sekante dabei?
ErklĂ€rung: Die Sekante geht immer durch Pâ und Pâ. Pâ bleibt an seinem Platz, also dreht sich die Sekante um Pâ; Pâ wandert mit und der Ursprung spielt keine Rolle.
Pâ bleibt fest, Pâ liegt einmal bei x = 2 und einmal bei x = 3 auf dem Graphen (beide Sekanten sind abgebildet). Die beiden Sekanten sind gleich steil.
ErklĂ€rung: Die Sekante dreht sich um Pâ. Mit jeder neuen Lage von Pâ zeigt sie in eine andere Richtung: Die eine Sekante ist waagerecht, die andere steigt steil. Sie sind verschieden steil.
Bleibt Pâ fest und wandert Pâ, so ___ sich die Sekante um Pâ.
ErklĂ€rung: Die Sekante geht immer durch Pâ; nur ihre Richtung Ă€ndert sich. Sie dreht sich um Pâ.
Pâ bleibt fest. Pâ liegt zuerst bei Lage 1 (xâ = 3), dann bei Lage 2 (xâ = 2) auf dem abgebildeten Graphen von f. Um wie viele Einheiten sinkt Pâ dabei?
ErklĂ€rung: Lage 1 liegt in der Höhe f(3) = 3,5, Lage 2 in der Höhe f(2) = 0,5: Pâ sinkt um 3,5 â 0,5 = 3 Einheiten. Die Sekante dreht sich dabei nach unten, weil ihr zweiter Punkt tiefer liegt.
Wie verlÀuft die Sekante durch die markierten Punkte P und Q (von links nach rechts gelesen)?
ErklÀrung: Q liegt rechts von P und tiefer (etwa 0,31 gegen 0,5). Die Sekante geht also von P nach Q abwÀrts: Sie fÀllt. Waagerecht wÀre sie bei gleicher Höhe.
Die Sekante durch die markierten Punkte P und Q ist waagerecht, obwohl der Graph zwischen ihnen durchhÀngt.
ErklĂ€rung: P und Q haben dieselbe Höhe 0,5. Die Sekante verbindet nur diese beiden Punkte; wie der Graph dazwischen verlĂ€uft, spielt fĂŒr ihre Richtung keine Rolle.
Liegt Pâ rechts von Pâ tiefer als Pâ, so ___ die Sekante.
ErklĂ€rung: Von Pâ nach rechts geht es zu einem tieferen Punkt Pâ: Die Sekante geht abwĂ€rts, sie fĂ€llt.
Pâ liegt auf dem abgebildeten Graphen von f bei xâ = 1. FĂŒr welche Stelle xâ > 1 liegt Pâ auf derselben Höhe, sodass die Sekante waagerecht ist?
ErklĂ€rung: f(1) = 0,5. Die Höhe 0,5 nimmt f bei x = 0, x = 1 und x = 2 an; rechts von xâ = 1 ist das nur xâ = 2.
Pâ liegt auf dem Graphen von f(x) = 0,5 · (xÂł â 3xÂČ + 2x + 1) bei xâ = 0,5. Pâ liegt bei xâ = 1,5, dann bei xâ = 2 und dann bei xâ = 3. Berechne die Höhen von Pâ und der drei Pâ und entscheide fĂŒr jede der drei Sekanten, ob sie steigt, fĂ€llt oder waagerecht ist. BegrĂŒnde mit den Höhen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Vergleiche jeweils die Höhe von Pâ mit der Höhe von Pâ (0,6875): tiefer heiĂt fallend, höher steigend.