Die Sekante

The Secant Line

Mathematik Klasse 11 14 Aufgaben

AnalysisAbleitungen

Die Sekante ist die ganze Gerade durch zwei Punkte des Graphen — nicht die Strecke dazwischen — und sie darf den Graphen noch ein weiteres Mal treffen. Bleibt P₀ fest und wandert P₁, dreht sie sich um P₀; ob sie steigt, fällt oder waagerecht ist, entscheidet die Höhe von P₁ im Vergleich zu P₀, nicht der Verlauf des Graphen dazwischen. Die Station räumt das Bild „Sekante = Strecke“ und „schneidet nur zweimal“ aus (Tall und Vinner 1981) und bereitet die Sekantengleichung und den Differenzenquotienten vor.

Legen wir eine Gerade durch die beiden Punkte. Diese Gerade heißt Sekante (vom lateinischen secare — schneiden). Die Sekante schneidet den Graphen in den Punkten $(x_{0} ∣ f (x_{0}))$ und $(x_{1} ∣ f (x_{1}))$ .

Achtung: Die Sekante ist eine ganze Gerade, nicht nur die Strecke zwischen den beiden Punkten. Sie darf den Graphen noch ein weiteres Mal treffen: Durch $(0 ∣ 0, 5)$ und $(2 ∣ 0, 5)$ verläuft die waagerechte Gerade $y = 0, 5$ , und sie geht auch durch den Graphenpunkt $(1 ∣ 0, 5)$ .

Verschiebe die Punkte und beobachte, wie sich die Sekante dreht.

Wo trifft die Sekante den Graphen außer in P₀ und P₁? Bewege dann einen der Regler: Geht die Gerade immer durch beide Punkte?

Halte P₀ fest und lass nur P₁ wandern: Die Sekante geht immer durch P₀ und dreht sich um diesen Punkt. Ob sie steigt oder fällt, verrät die Höhe von P₁: Liegt der Punkt rechts von P₀ höher, steigt die Sekante, liegt er tiefer, fällt sie, und auf gleicher Höhe ist sie waagerecht. Der Graph dazwischen zählt nicht: Für $x_{0} = 1$ und $x_{1} = 2$ sinkt er erst und steigt dann wieder, die Sekante ist trotzdem waagerecht.

Verschiebe x₁ und vergleiche die Höhen f(x₀) und f(x₁): Wann steigt die Sekante, wann fällt sie, wann ist sie waagerecht?

Steigt, fällt, waagerecht: Das sind drei Wörter, noch keine Zahl. Zwei steigende Sekanten kannst du so nicht vergleichen. Wie steil ist eine Sekante?

Voraussetzungen (1)

Ein Punkt auf dem Graphen

Klasse 11

›

Ermöglicht (2)

Die Sekante parametrisieren

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Der Graph von f enthält die Punkte A(1 | 0,5) und B(3 | 3,5). Was ist eine Sekante von f durch A und B?

● die Gerade durch A und B
○ die Strecke von A nach B
○ die Gerade durch A und C(3 | 2)

Die Sekante ist die ganze Gerade durch zwei Punkte des Graphen: A und B liegen auf f (f(1) = 0,5, f(3) = 3,5). Die Strecke von A nach B ist nur ein Stück davon; C(3 | 2) liegt nicht auf dem Graphen, denn f(3) = 3,5.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die abgebildete Gerade geht durch die markierten Punkte P₀ und P₁ des Graphen. Wie viele Punkte hat sie insgesamt mit dem Graphen gemeinsam?

● 3
○ 2
○ 1

Die Gerade y = 0,5 trifft den Graphen bei x = 0, x = 1 und x = 2, denn f(0) = f(1) = f(2) = 0,5. Nur zwei der drei Punkte sind markiert: Eine Sekante darf den Graphen noch ein weiteres Mal treffen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Sekante durch P₀ und P₁ ist die Strecke zwischen den beiden Punkten.

✓ Falsch

Eine Sekante ist eine ganze Gerade: Sie läuft über P₀ und P₁ hinaus in beide Richtungen. Die Strecke zwischen den Punkten ist nur ein Teil von ihr.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

P₀ bleibt fest, P₁ wandert auf dem Graphen nach rechts. Um welchen Punkt dreht sich die Sekante dabei?

● P₀
○ P₁
○ den Ursprung

Die Sekante geht immer durch P₀ und P₁. P₀ bleibt an seinem Platz, also dreht sich die Sekante um P₀; P₁ wandert mit und der Ursprung spielt keine Rolle.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

P₀ bleibt fest, P₁ liegt einmal bei x = 2 und einmal bei x = 3 auf dem Graphen (beide Sekanten sind abgebildet). Die beiden Sekanten sind gleich steil.

✓ Falsch

Die Sekante dreht sich um P₀. Mit jeder neuen Lage von P₁ zeigt sie in eine andere Richtung: Die eine Sekante ist waagerecht, die andere steigt steil. Sie sind verschieden steil.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie verläuft die Sekante durch die markierten Punkte P und Q (von links nach rechts gelesen)?

● fallend
○ steigend
○ waagerecht

Q liegt rechts von P und tiefer (etwa 0,31 gegen 0,5). Die Sekante geht also von P nach Q abwärts: Sie fällt. Waagerecht wäre sie bei gleicher Höhe.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Sekante durch die markierten Punkte P und Q ist waagerecht, obwohl der Graph zwischen ihnen durchhängt.

✓ Wahr

P und Q haben dieselbe Höhe 0,5. Die Sekante verbindet nur diese beiden Punkte; wie der Graph dazwischen verläuft, spielt für ihre Richtung keine Rolle.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Die Sekante durch zwei Punkte des Graphen ist keine Strecke, sondern eine ___.

✓ Antwort: Gerade

Eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen; sie geht nach beiden Seiten unbegrenzt weiter.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Bleibt P₀ fest und wandert P₁, so ___ sich die Sekante um P₀.

✓ Antwort: dreht

Die Sekante geht immer durch P₀; nur ihre Richtung ändert sich. Sie dreht sich um P₀.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Liegt P₁ rechts von P₀ tiefer als P₀, so ___ die Sekante.

✓ Antwort: fällt

Von P₀ nach rechts geht es zu einem tieferen Punkt P₁: Die Sekante geht abwärts, sie fällt.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die markierten Punkte A, B und C liegen auf dem Graphen von f. Wie viele verschiedene Sekanten gehen durch je zwei dieser Punkte?

✓ Antwort: 1

A(0 | 0,5), B(1 | 0,5) und C(2 | 0,5) haben alle die Höhe 0,5 und liegen auf derselben waagerechten Geraden y = 0,5. Die Sekanten AB, AC und BC sind dieselbe Gerade: Es gibt genau eine.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

P₀ bleibt fest. P₁ liegt zuerst bei Lage 1 (x₁ = 3), dann bei Lage 2 (x₁ = 2) auf dem abgebildeten Graphen von f. Um wie viele Einheiten sinkt P₁ dabei?

✓ Antwort: 3

Lage 1 liegt in der Höhe f(3) = 3,5, Lage 2 in der Höhe f(2) = 0,5: P₁ sinkt um 3,5 − 0,5 = 3 Einheiten. Die Sekante dreht sich dabei nach unten, weil ihr zweiter Punkt tiefer liegt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

P₀ liegt auf dem abgebildeten Graphen von f bei x₀ = 1. Für welche Stelle x₁ > 1 liegt P₁ auf derselben Höhe, sodass die Sekante waagerecht ist?

✓ Antwort: 2

f(1) = 0,5. Die Höhe 0,5 nimmt f bei x = 0, x = 1 und x = 2 an; rechts von x₀ = 1 ist das nur x₁ = 2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

P₀ liegt auf dem Graphen von f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) bei x₀ = 0,5. P₁ liegt bei x₁ = 1,5, dann bei x₁ = 2 und dann bei x₁ = 3. Berechne die Höhen von P₀ und der drei P₁ und entscheide für jede der drei Sekanten, ob sie steigt, fällt oder waagerecht ist. Begründe mit den Höhen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(0,5) = 0,5 · (0,125 − 0,75 + 1 + 1) = 0,6875; f(1,5) = 0,5 · (3,375 − 6,75 + 3 + 1) = 0,3125; f(2) = 0,5 · (8 − 12 + 4 + 1) = 0,5; f(3) = 0,5 · (27 − 27 + 6 + 1) = 3,5. Für x₁ = 1,5 liegt P₁ tiefer als P₀ (0,3125 < 0,6875): die Sekante fällt. Für x₁ = 2 liegt P₁ ebenfalls tiefer (0,5 < 0,6875): sie fällt. Für x₁ = 3 liegt P₁ höher (3,5 > 0,6875): sie steigt. Waagerecht ist keine der drei Sekanten.

Vergleiche jeweils die Höhe von P₁ mit der Höhe von P₀ (0,6875): tiefer heißt fallend, höher steigend.