f(x) = x². Berechne f'(3) mit der Definition: lim(h→0) ((3+h)²−9)/h.

Erklärung: ((3+h)²−9)/h = (9+6h+h²−9)/h = (6h+h²)/h = 6+h. Für h → 0: f'(3) = 6.

Für f gilt f′(2) = −3. Welche Aussage über den Graphen von f bei x = 2 stimmt?

Erklärung: f′(2) ist die Steigung der Tangente im Punkt (2 | f(2)): −3 heißt, dass sie fällt, und zwar um 3 pro Schritt nach rechts. Die Höhe des Graphen wäre der Funktionswert f(2), nicht f′(2); und eine Sekante hat für jedes Δx eine andere Steigung.

Der Differentialquotient f'(x₀) = lim(h→0) (f(x₀+h)−f(x₀))/h gibt die Tangentensteigung im Punkt (x₀|f(x₀)) an.

Erklärung: Richtig. Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0 ist die Ableitung, also die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt x₀.

f(x) = x³. Berechne f'(1) mit der Definition: lim(h→0) ((1+h)³−1)/h.

Erklärung: (1+h)³ = 1+3h+3h²+h³. Also ((1+h)³−1)/h = (3h+3h²+h³)/h = 3+3h+h². Für h → 0: f'(1) = 3.

Die Tangente in P₀ ist violett gezeichnet. Welche der drei Sekanten durch P₀ und den Punkt a, b bzw. c liegt der Tangente am nächsten?

Erklärung: Je näher der zweite Punkt an P₀ rückt, desto näher liegt die Sekante an der Tangente. Der Punkt b (x = 2) liegt am nächsten an P₀ (Δx = 0,5), c (Δx = 1,5) am weitesten und hat die steilste Sekante.

Setzt man in der Sekante durch P₀ und P₁ den Wert Δx = 0 ein, erhält man die Tangente.

Erklärung: Für Δx = 0 fallen P₀ und P₁ zusammen, und zwei gleiche Punkte legen keine Gerade fest. Die Tangente ist kein Wert für Δx = 0, sondern die Lage, der die Sekanten für Δx → 0 zustreben.

Die Tangente in P₀ ist die ___ der Sekanten durch P₀ und P₁, wenn P₁ gegen P₀ wandert.

Erklärung: Die Sekanten nähern sich beim Wandern von P₁ einer festen Lage; diese Grenzlage ist die Tangente.

Für f(x) = x² an der Stelle x₀ = 1 haben die Sekanten für Δx = 1; 0,1; 0,01 die Steigungen 3; 2,1; 2,01. Welche Zahl ist die Steigung der Tangente an der Stelle 1?

Erklärung: Die Steigungen sind 2 + Δx und laufen für Δx → 0 auf 2 zu. Die Tangentensteigung ist der Grenzwert 2, nicht der zuletzt berechnete Wert 2,01.

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Wie groß ist f′(2)?

Erklärung: Die Tangente geht durch P(2 | 0,5) und den Punkt (0 | −1,5): Δy = 2 bei Δx = 2, also Steigung 1 = f′(2). Die 0,5 ist der Funktionswert f(2), die 2 die Stelle x₀.

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1 | 0,5). Sie fällt von links nach rechts, also ist f′(1) negativ.

Erklärung: Die Steigung der Tangente ist die Ableitung. Eine fallende Tangente hat negative Steigung, also ist f′(1) < 0 (hier f′(1) = −0,5). Dass der Funktionswert f(1) = 0,5 positiv ist, spielt dafür keine Rolle.

Die Abbildung zeigt eine Parabel und ihre Tangente im höchsten Punkt S(1 | 4). Wie groß ist die Ableitung an dieser Stelle?

Erklärung: Die Tangente im höchsten Punkt ist waagerecht, ihre Steigung ist 0. Also ist die Ableitung an der Stelle 1 gleich 0, obwohl der Graph dort die Höhe 4 hat.

Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (1 | 5) hat die Gleichung y = −2x + 7. Wie groß ist f′(1)?

Erklärung: f′(1) ist die Steigung der Tangente: In y = −2x + 7 ist m = −2. Die 7 ist der y-Achsenabschnitt, die 5 der Funktionswert f(1).

Welcher Term entsteht aus ((1 + h)² − 1)/h nach Ausmultiplizieren und Kürzen?

Erklärung: (1 + h)² = 1 + 2h + h², also ((1 + h)² − 1)/h = (2h + h²)/h = 2 + h. Die Antwort h entsteht aus dem Fehler (1 + h)² = 1 + h²; die Antwort 2 + h² kürzt h nur aus 2h und vergisst es bei h².

Den Grenzwert von ((1 + h)² − 1)/h für h → 0 erhält man, indem man sofort h = 0 einsetzt.

Erklärung: Für h = 0 steht im Nenner 0 und im Zähler (1 + 0)² − 1 = 0: der Ausdruck 0/0 ist nicht definiert. Erst umformen und kürzen (2 + h), dann h → 0 gehen lassen.

f(x) = x² + 3x. Berechne f′(1) mit der Definition: Grenzwert von (f(1 + h) − f(1))/h für h → 0.

Erklärung: f(1) = 4 und f(1 + h) = (1 + h)² + 3(1 + h) = 4 + 5h + h². Also (f(1 + h) − f(1))/h = (5h + h²)/h = 5 + h, und für h → 0 ist f′(1) = 5.

Berechne für f(x) = 2x² − x die Ableitung f′(1) mit der Definition. Stelle den Differenzenquotienten (f(1 + h) − f(1))/h auf, multipliziere aus, kürze h und lass dann h gegen 0 gehen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Erst ausmultiplizieren, dann h ausklammern und kürzen: (3h + 2h²)/h = 3 + 2h. Erst danach h → 0: f′(1) = 3.

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Wie viele weitere Punkte (außer P) hat sie mit dem Graphen gemeinsam?

Erklärung: Die Tangente y = x + 0,5 trifft den Graphen bei x = 3 noch einmal, denn f(3) = 3,5 = 3 + 0,5. Eine Tangente muss nicht der einzige gemeinsame Punkt sein.

Die Tangente an f im Punkt (0 | 0,5) hat die Gleichung y = x + 0,5. Sie hat mit dem Graphen von f auch den Punkt (3 | 3,5) gemeinsam.

Erklärung: Für x = 3 gibt die Tangente y = 3 + 0,5 = 3,5, und f(3) = 3,5. Die Tangente beschreibt die Richtung des Graphen bei (0 | 0,5) und darf den Graphen weiter entfernt noch einmal schneiden.

Eine Tangente darf den Graphen an einer anderen Stelle noch einmal ___.

Erklärung: Entscheidend ist die Grenzlage der Sekanten im Berührpunkt, nicht die Zahl der gemeinsamen Punkte.

Die Tangente an f im Punkt (0 | 0,5) hat die Gleichung y = x + 0,5. Welchen y-Wert hat sie bei x = 3?

Erklärung: y = 3 + 0,5 = 3,5. Das ist genau der Funktionswert f(3) = 3,5: Die Tangente trifft den Graphen bei x = 3 ein zweites Mal.

f(x) = x². Die Sekanten durch x₀ = 1 haben die Steigungen 3; 2,1; 2,01. Welche Steigung hat die Tangente in x₀ = 1?

Die Steigungen nähern sich 2. Jede Sekante ist noch etwas steiler.

f(x) = x². Die Sekanten durch x₀ = 2 haben die Steigungen 5; 4,1; 4,01. Welche Steigung hat die Tangente in x₀ = 2?

Die Steigungen nähern sich 4. Jede Sekante ist noch etwas steiler.

f(x) = x². Die Sekantensteigung zwischen x₀ = 3 und 3 + h ist 6 + h. Wie groß ist die Tangentensteigung in x₀ = 3?

h geht gegen 0, also geht 6 + h gegen 6.

f(x) = x². Die Sekantensteigung zwischen x₀ = 5 und 5 + h ist 10 + h. Wie groß ist die Tangentensteigung in x₀ = 5?

h geht gegen 0, also geht 10 + h gegen 10.

f(x) = x³. Die Tangente in x₀ = 1 schneidet den Graphen bei x = −2 noch einmal. Ist sie trotzdem die Tangente in x₀ = 1?

Ja: Die Tangente ist die Grenzlage der Sekanten in x₀ = 1. Weiter weg darf sie den Graphen schneiden.

f(x) = x³ − 3x. Die Tangente in x₀ = 1 ist waagrecht und trifft den Graphen bei x = −2 noch einmal. Ist sie trotzdem die Tangente in x₀ = 1?

Ja: Die Tangente ist die Grenzlage der Sekanten in x₀ = 1. Weiter weg darf sie den Graphen treffen.

f(x) = x². Die Tangentensteigung in x₀ ist 2x₀. Wie groß ist sie in x₀ = −2?

2 · (−2) = −4: Links vom Scheitel fällt die Parabel.

f(x) = x². Die Tangentensteigung in x₀ ist 2x₀. Wie groß ist sie in x₀ = −3?

2 · (−3) = −6: Links vom Scheitel fällt die Parabel.

Man setzt x₁ = x₀ in (f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) ein und erhält so die Tangentensteigung. Geht das?

Nein: Dann steht 0 : 0 da. Die Tangentensteigung ist der Grenzwert, wenn x₁ an x₀ heranrückt.

Man setzt h = 0 in (f(x₀ + h) − f(x₀)) : h ein und erhält so die Tangentensteigung. Geht das?

Nein: Durch 0 kann man nicht teilen. Man vereinfacht erst und lässt dann h gegen 0 gehen.

Aufgabe 1 von 30