Von der Sekante zur Tangente — Der Grenzübergang

From Secant to Tangent — The Limit

Mathematik Klasse 11 30 Aufgaben

AnalysisAbleitungen

Rückt P₁ auf dem Graphen immer näher an P₀, streben die Sekanten einer festen Lage zu, der Tangente; ihre Steigung ist der Grenzwert der Differenzenquotienten, f′(x₀) = lim (f(x₀ + Δx) − f(x₀))/Δx für Δx → 0. Die Station rechnet diesen Grenzwert für einfache ganzrationale Funktionen aus (Ausmultiplizieren, h kürzen, dann h → 0). Sie räumt aus: Tangente = Sekante mit Δx = 0, die Tangente berühre den Graphen nur einmal, Grenzwert = zuletzt berechneter Wert, sofort h = 0 einsetzen (Tall und Vinner 1981; Orton 1983; Danckwerts und Vogel 2006). Bereitet die Ableitungsfunktion und die Ableitungsregeln vor.

Sekante und Tangente

Was passiert, wenn du $Δ x$ immer kleiner machst? Der zweite Punkt rückt immer näher an den ersten, und die Sekante dreht sich um P₀.

Ein Beispiel: P₀ liegt bei $x_{0} = 2$ fest, und P₁ rückt näher heran. Bei $Δ x = 1$ hat die Sekante die Steigung 3, bei $Δ x = \frac{1}{2}$ die Steigung 1,875 und bei $Δ x = \frac{1}{4}$ die Steigung 1,40625. Die Figur zeigt die drei Sekanten nebeneinander und dazu eine violette Gerade durch P₀, die du mit dem Regler m drehst. Dreh sie so, dass sie die Reihe der drei Sekanten fortsetzt.

Dreh die violette Gerade mit dem Regler m um P₀, bis sie die Reihe der Sekanten fortsetzt. Bei welchem m liegt die Kurve um P₀ herum auf beiden Seiten über der Geraden?

Bei $m = 1$ geschieht etwas Sichtbares. Für jede andere Steigung schneidet die violette Gerade den Graphen in P₀: Links und rechts von P₀ liegt die Kurve auf verschiedenen Seiten. Bei $m = 1$ liegt die Kurve um P₀ herum auf beiden Seiten über ihr. Die Rechnung bestätigt den Wert: Noch kleinere $Δ x$ lassen sich nicht mehr getrennt zeichnen, aber ausrechnen. Bei $Δ x = 0, 1$ ist die Steigung 1,155, bei $Δ x = 0, 01$ nur noch 1,01505. Die Steigungen laufen auf 1 zu. Dabei wird Δx nie ganz null: Fielen P₁ und P₀ zusammen, legten die beiden Punkte keine Gerade mehr fest.

Diese Gerade heißt Tangente an den Graphen im Punkt P₀. Den Namen kennst du vom Kreis: Dort ist die Tangente die Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Am Graphen ist sie die Gerade, der die Sekanten durch P₀ zustreben, wenn $Δ x$ immer kleiner wird.

Differentialquotient

Diesen Übergang, $Δ x$ immer kleiner werden lassen, ohne je $Δ x = 0$ einzusetzen, nennt man Grenzübergang. Die Zahl, auf die die Steigungen zulaufen, heißt Grenzwert, lateinisch Limes, kurz lim. Im Grenzfall wird die Sekante zur Tangente — der Geraden, die den Graphen bei P₀ berührt. Ihre Steigung heißt Differentialquotient oder Ableitung von f an der Stelle $x_{0}$ und wird so geschrieben:

f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

Gelesen: „f Strich von x₀ ist der Limes für Δx gegen 0 des Differenzenquotienten.“ Der Quotient wird für immer kleinere Δx ausgerechnet, Δx = 0 wird nie eingesetzt. Für die Kurve oben ist $f^{'} (2) = 1$ . Die Kurzschreibweise $f^{'} (x_{0})$ steht also für die Steigung der Tangente an der Stelle $x_{0}$ . Nicht verwechseln: Der Strich macht aus dem Funktionswert eine Steigung. $f (2) = 0, 5$ ist die Höhe von P₀, $f^{'} (2) = 1$ die Steigung der Tangente dort.

Vorsicht bei „berührt“: Anders als beim Kreis beschreibt das nur die Lage bei P₀. Die Tangente darf den Graphen an einer anderen Stelle noch einmal schneiden. Entscheidend ist die Grenzlage der Sekanten, nicht die Zahl der gemeinsamen Punkte.

Verkleinere Δx bis 0,05: Wie nah kommt die Sekantensteigung m_Sek an f′(x₀) heran, und wird sie je gleich?

Grenzwert ausrechnen

Nimm für einen Moment $f (x) = x^{2}$ statt der Kurve von oben. An der Stelle $x_{0} = 2$ lässt sich der Grenzübergang ausrechnen. Statt $Δ x$ schreibt man oft $h$ . Den Zähler multiplizierst du mit der ersten binomischen Formel $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ aus: $(2 + h)^{2} = 4 + 4 h + h^{2}$ .

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{( 2 + h ) ^{2} - 4}{h} = \frac{4 + 4 h + h ^{2} - 4}{h} = \frac{4 h + h ^{2}}{h} = 4 + h

Erst nach dem Kürzen lässt du $h$ gegen 0 gehen: $4 + h \to 4$ , also $f^{'} (2) = 4$ . Setzt du $h = 0$ sofort ein, entsteht $\frac{0}{0}$ — nicht definiert.

Verkleinere Δx und vergleiche die gemessene Sekantensteigung mit 4 + Δx. Wogegen laufen beide?

Zurück zur Kurve des Kurses, $f (x) = 0, 5 (x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1)$ , an der Stelle 2. Dieselbe Rechnung, Ausmultiplizieren und dann $h$ kürzen, ergibt mit $f (2) = 0, 5$ :

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{0 , 5 ( 1 + 2 h + 3 h ^{2} + h ^{3} ) - 0 , 5}{h} = \frac{h + 1 , 5 h ^{2} + 0 , 5 h ^{3}}{h} = 1 + 1, 5 h + 0, 5 h^{2}

Für $h = 1$ gibt der Term 3, für $h = 0, 5$ gibt er 1,875: die Sekantensteigungen vom Anfang des Abschnitts. Für $h \to 0$ bleibt 1, also $f^{'} (2) = 1$ , die Zahl, auf die die Sekanten in der Figur zuliefen und bei der sich die violette Gerade anschmiegte. Zurück zum Auto vom Anfang, $s (t) = 20 t^{2} + 40 t$ , im Augenblick $t_{0} = 1$ . Dieselbe Rechnung ergibt

\frac{s ( 1 + h ) - s ( 1 )}{h} = \frac{20 ( 1 + h ) ^{2} + 40 ( 1 + h ) - 60}{h} = \frac{80 h + 20 h ^{2}}{h} = 80 + 20 h

Für $h = 1$ gibt der Term 100 km/h, für $h = 0, 5$ gibt er 90 km/h, die beiden Mittel aus dem vorigen Abschnitt. Für $h \to 0$ bleibt 80: Genau bei $t = 1$ h fährt das Auto 80 km/h. Diese Zahl zeigt der Tacho in diesem Augenblick, und das ist die Antwort auf die Frage vom Anfang.

Was dieser Kurs weglässt: Δx war immer positiv, den Grenzwert hast du abgelesen und ausgerechnet, aber nicht formal definiert, und jede Ableitung kostete eine eigene h-Rechnung, für jede Stelle neu. Der nächste Kurs, Die Ableitungsfunktion, macht dieselbe Rechnung an jeder Stelle auf einmal und liest den Tacho so für jeden Augenblick ab.

Voraussetzungen (1)

Differenzenquotient

Klasse 11

›

Ermöglicht (3)

Ableitung erkunden

Klasse 11

›

Differenzenquotient und Ableitung

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Für f gilt f′(2) = −3. Welche Aussage über den Graphen von f bei x = 2 stimmt?

● Die Tangente in (2 | f(2)) fällt: Pro Schritt nach rechts geht es 3 nach unten.
○ Der Graph liegt bei x = 2 in der Höhe −3.
○ Die Sekante durch (2 | f(2)) hat immer die Steigung −3.

f′(2) ist die Steigung der Tangente im Punkt (2 | f(2)): −3 heißt, dass sie fällt, und zwar um 3 pro Schritt nach rechts. Die Höhe des Graphen wäre der Funktionswert f(2), nicht f′(2); und eine Sekante hat für jedes Δx eine andere Steigung.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Differentialquotient f'(x₀) = lim(h→0) (f(x₀+h)−f(x₀))/h gibt die Tangentensteigung im Punkt (x₀|f(x₀)) an.

✓ Wahr

Richtig. Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0 ist die Ableitung, also die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt x₀.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Tangente in P₀ ist violett gezeichnet. Welche der drei Sekanten durch P₀ und den Punkt a, b bzw. c liegt der Tangente am nächsten?

● b
○ a
○ c

Je näher der zweite Punkt an P₀ rückt, desto näher liegt die Sekante an der Tangente. Der Punkt b (x = 2) liegt am nächsten an P₀ (Δx = 0,5), c (Δx = 1,5) am weitesten und hat die steilste Sekante.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Setzt man in der Sekante durch P₀ und P₁ den Wert Δx = 0 ein, erhält man die Tangente.

✓ Falsch

Für Δx = 0 fallen P₀ und P₁ zusammen, und zwei gleiche Punkte legen keine Gerade fest. Die Tangente ist kein Wert für Δx = 0, sondern die Lage, der die Sekanten für Δx → 0 zustreben.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Wie groß ist f′(2)?

● 1
○ 0,5
○ 2

Die Tangente geht durch P(2 | 0,5) und den Punkt (0 | −1,5): Δy = 2 bei Δx = 2, also Steigung 1 = f′(2). Die 0,5 ist der Funktionswert f(2), die 2 die Stelle x₀.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1 | 0,5). Sie fällt von links nach rechts, also ist f′(1) negativ.

✓ Wahr

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung. Eine fallende Tangente hat negative Steigung, also ist f′(1) < 0 (hier f′(1) = −0,5). Dass der Funktionswert f(1) = 0,5 positiv ist, spielt dafür keine Rolle.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Term entsteht aus ((1 + h)² − 1)/h nach Ausmultiplizieren und Kürzen?

● 2 + h
○ h
○ 2 + h²

(1 + h)² = 1 + 2h + h², also ((1 + h)² − 1)/h = (2h + h²)/h = 2 + h. Die Antwort h entsteht aus dem Fehler (1 + h)² = 1 + h²; die Antwort 2 + h² kürzt h nur aus 2h und vergisst es bei h².

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Den Grenzwert von ((1 + h)² − 1)/h für h → 0 erhält man, indem man sofort h = 0 einsetzt.

✓ Falsch

Für h = 0 steht im Nenner 0 und im Zähler (1 + 0)² − 1 = 0: der Ausdruck 0/0 ist nicht definiert. Erst umformen und kürzen (2 + h), dann h → 0 gehen lassen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Die violette Gerade ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Wie viele weitere Punkte (außer P) hat sie mit dem Graphen gemeinsam?

● 1
○ 0
○ 2

Die Tangente y = x + 0,5 trifft den Graphen bei x = 3 noch einmal, denn f(3) = 3,5 = 3 + 0,5. Eine Tangente muss nicht der einzige gemeinsame Punkt sein.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Die Tangente an f im Punkt (0 | 0,5) hat die Gleichung y = x + 0,5. Sie hat mit dem Graphen von f auch den Punkt (3 | 3,5) gemeinsam.

✓ Wahr

Für x = 3 gibt die Tangente y = 3 + 0,5 = 3,5, und f(3) = 3,5. Die Tangente beschreibt die Richtung des Graphen bei (0 | 0,5) und darf den Graphen weiter entfernt noch einmal schneiden.

Multiple Choice #11 25s ▶ Testen

f(x) = x². Die Sekanten durch x₀ = 1 haben die Steigungen 3; 2,1; 2,01. Welche Steigung hat die Tangente in x₀ = 1?

● 2
○ 2,01
○ 0

Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

f(x) = x². Die Sekanten durch x₀ = 2 haben die Steigungen 5; 4,1; 4,01. Welche Steigung hat die Tangente in x₀ = 2?

○ 4,01
● 4
○ 0

Wahr / Falsch #13 25s ▶ Testen

f(x) = x³. Die Tangente in x₀ = 1 schneidet den Graphen bei x = −2 noch einmal. Ist sie trotzdem die Tangente in x₀ = 1?

✓ Ja

Wahr / Falsch #14 25s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x. Die Tangente in x₀ = 1 ist waagrecht und trifft den Graphen bei x = −2 noch einmal. Ist sie trotzdem die Tangente in x₀ = 1?

✓ Ja

Wahr / Falsch #15 25s ▶ Testen

Man setzt x₁ = x₀ in (f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀) ein und erhält so die Tangentensteigung. Geht das?

✓ Nein

Wahr / Falsch #16 25s ▶ Testen

Man setzt h = 0 in (f(x₀ + h) − f(x₀)) : h ein und erhält so die Tangentensteigung. Geht das?

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

f(x) = x². Berechne f'(3) mit der Definition: lim(h→0) ((3+h)²−9)/h.

✓ Antwort: 6

((3+h)²−9)/h = (9+6h+h²−9)/h = (6h+h²)/h = 6+h. Für h → 0: f'(3) = 6.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

f(x) = x³. Berechne f'(1) mit der Definition: lim(h→0) ((1+h)³−1)/h.

✓ Antwort: 3

(1+h)³ = 1+3h+3h²+h³. Also ((1+h)³−1)/h = (3h+3h²+h³)/h = 3+3h+h². Für h → 0: f'(1) = 3.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Die Tangente in P₀ ist die ___ der Sekanten durch P₀ und P₁, wenn P₁ gegen P₀ wandert.

✓ Antwort: Grenzlage

Die Sekanten nähern sich beim Wandern von P₁ einer festen Lage; diese Grenzlage ist die Tangente.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt eine Parabel und ihre Tangente im höchsten Punkt S(1 | 4). Wie groß ist die Ableitung an dieser Stelle?

✓ Antwort: 0

Die Tangente im höchsten Punkt ist waagerecht, ihre Steigung ist 0. Also ist die Ableitung an der Stelle 1 gleich 0, obwohl der Graph dort die Höhe 4 hat.

Lückentext #5 20s ▶ Testen

Eine Tangente darf den Graphen an einer anderen Stelle noch einmal ___.

✓ Antwort: schneiden

Entscheidend ist die Grenzlage der Sekanten im Berührpunkt, nicht die Zahl der gemeinsamen Punkte.

Zahleneingabe #6 45s ▶ Testen

f(x) = x². Die Sekantensteigung zwischen x₀ = 3 und 3 + h ist 6 + h. Wie groß ist die Tangentensteigung in x₀ = 3?

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #7 45s ▶ Testen

f(x) = x². Die Sekantensteigung zwischen x₀ = 5 und 5 + h ist 10 + h. Wie groß ist die Tangentensteigung in x₀ = 5?

✓ Antwort: 10

Zahleneingabe #8 30s ▶ Testen

f(x) = x². Die Tangentensteigung in x₀ ist 2x₀. Wie groß ist sie in x₀ = −2?

✓ Antwort: -4

Zahleneingabe #9 30s ▶ Testen

f(x) = x². Die Tangentensteigung in x₀ ist 2x₀. Wie groß ist sie in x₀ = −3?

✓ Antwort: -6

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² an der Stelle x₀ = 1 haben die Sekanten für Δx = 1; 0,1; 0,01 die Steigungen 3; 2,1; 2,01. Welche Zahl ist die Steigung der Tangente an der Stelle 1?

✓ Antwort: 2

Die Steigungen sind 2 + Δx und laufen für Δx → 0 auf 2 zu. Die Tangentensteigung ist der Grenzwert 2, nicht der zuletzt berechnete Wert 2,01.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (1 | 5) hat die Gleichung y = −2x + 7. Wie groß ist f′(1)?

✓ Antwort: -2

f′(1) ist die Steigung der Tangente: In y = −2x + 7 ist m = −2. Die 7 ist der y-Achsenabschnitt, die 5 der Funktionswert f(1).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

f(x) = x² + 3x. Berechne f′(1) mit der Definition: Grenzwert von (f(1 + h) − f(1))/h für h → 0.

✓ Antwort: 5

f(1) = 4 und f(1 + h) = (1 + h)² + 3(1 + h) = 4 + 5h + h². Also (f(1 + h) − f(1))/h = (5h + h²)/h = 5 + h, und für h → 0 ist f′(1) = 5.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Berechne für f(x) = 2x² − x die Ableitung f′(1) mit der Definition. Stelle den Differenzenquotienten (f(1 + h) − f(1))/h auf, multipliziere aus, kürze h und lass dann h gegen 0 gehen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(1) = 2 · 1 − 1 = 1. f(1 + h) = 2(1 + h)² − (1 + h) = 2 + 4h + 2h² − 1 − h = 1 + 3h + 2h². Differenzenquotient: (f(1 + h) − f(1))/h = (3h + 2h²)/h = 3 + 2h. Für h → 0 gilt 3 + 2h → 3, also f′(1) = 3.

Erst ausmultiplizieren, dann h ausklammern und kürzen: (3h + 2h²)/h = 3 + 2h. Erst danach h → 0: f′(1) = 3.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Die Tangente an f im Punkt (0 | 0,5) hat die Gleichung y = x + 0,5. Welchen y-Wert hat sie bei x = 3?

✓ Antwort: 3.5

y = 3 + 0,5 = 3,5. Das ist genau der Funktionswert f(3) = 3,5: Die Tangente trifft den Graphen bei x = 3 ein zweites Mal.