Stochastische Unabhängigkeit
Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?
Erklärung: Stochastische Unabhängigkeit ist definiert durch P(A∩B) = P(A)·P(B). Das Eintreten von A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von B nicht.
Wenn zwei Ereignisse disjunkt sind (A∩B = ∅), sind sie immer stochastisch unabhängig.
Erklärung: Falsch. Disjunkte Ereignisse mit P(A) > 0 und P(B) > 0 sind stets abhängig, denn P(A∩B) = 0 ≠ P(A)·P(B) > 0.
P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,2. Sind A und B unabhängig? Gib 1 für ja, 0 für nein ein.
Erklärung: P(A)·P(B) = 0,4·0,5 = 0,2 = P(A∩B). Die Bedingung ist erfüllt, also sind A und B stochastisch unabhängig.
Wenn A und B unabhängig sind, gilt P_B(A) = P(___)
Erklärung: Bei Unabhängigkeit ändert das Eintreten von B nichts an der Wahrscheinlichkeit von A: P_B(A) = P(A).
In einem Baumdiagramm erkennt man stochastische Unabhängigkeit daran, dass:
Erklärung: Bei Unabhängigkeit gilt P_A(B) = P_Ā(B) = P(B). Im Baumdiagramm sieht man, dass die Zweige der zweiten Stufe unabhängig vom Ausgang der ersten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben.
P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A∩B) = 0,24. Sind A und B unabhängig? Gib 1 für ja, 0 für nein ein.
Erklärung: P(A)·P(B) = 0,3·0,6 = 0,18 ≠ 0,24 = P(A∩B). Also sind A und B nicht stochastisch unabhängig.
Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann sind auch Ā und B unabhängig.
Erklärung: Richtig. Aus der Unabhängigkeit von A und B folgt die Unabhängigkeit der Gegenereignisse. P(Ā∩B) = P(B) − P(A∩B) = P(B) − P(A)P(B) = P(B)(1−P(A)) = P(Ā)·P(B).
Eine Vierfeldertafel zeigt: P(A∩B)=0,15; P(A∩B̄)=0,35; P(Ā∩B)=0,15; P(Ā∩B̄)=0,35. Sind A und B unabhängig?
Erklärung: P(A) = 0,15+0,35 = 0,5; P(B) = 0,15+0,15 = 0,3. P(A)·P(B) = 0,15 = P(A∩B). ✓
Zweimaliges Werfen eines fairen Würfels. A = '1. Wurf zeigt 6', B = '2. Wurf zeigt 6'. P(A∩B) = ___.
Erklärung: Die Würfe sind unabhängig. P(A∩B) = P(A)·P(B) = (1/6)·(1/6) = 1/36.
Eine Münze wird 3-mal geworfen (unabhängig). Wie groß ist P(3× Kopf)? Gib die Antwort als Dezimalzahl an.
Erklärung: P(3× Kopf) = (1/2)³ = 1/8 = 0,125.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind aufeinanderfolgende Züge stochastisch unabhängig.
Erklärung: Falsch. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit. Die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Zuges hängen vom Ergebnis des ersten ab — daher besteht stochastische Abhängigkeit.
P(A) = 0,5; P_A(B) = 0,3; P_Ā(B) = 0,3. Welche Schlussfolgerung ist richtig?
Erklärung: P_A(B) = P_Ā(B) = 0,3 = P(B). Das Eintreten von A ändert nichts an P(B) — das ist die Definition von Unabhängigkeit.
P(A) = 0,6; P(B) = 0,5. A und B sind unabhängig. Berechne P(A ∪ B).
Erklärung: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0,6 + 0,5 − 0,6·0,5 = 1,1 − 0,3 = 0,8.
Die Formel zur Prüfung stochastischer Unabhängigkeit lautet: P(A∩B) = P(A) · P(___).
Erklärung: Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A) · P(B).
Beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne sind aufeinanderfolgende Züge stochastisch unabhängig.
Erklärung: Richtig. Durch das Zurücklegen wird die Zusammensetzung der Urne nicht verändert, die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.