Stochastische Unabhängigkeit

Stochastic Independence

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben
StochastikUnabhängigkeitKerncurriculum

A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A) · P(B) — gleichwertig, wenn das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht ändert. Geprüft wird rechnerisch an Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen, nicht nach Gefühl. Die zentrale Hürde ist die Verwechslung von unabhängig mit unvereinbar (disjunkt) — disjunkte Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind gerade maximal abhängig. Trägt später die Bernoulli-Kette, deren Modell Unabhängigkeit voraussetzt.

Voraussetzungen (1)

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Klasse 11
›

Ermöglicht (2)

Bernoulli-Kette — das Modell erkennen
Klasse 12
›
Normalverteilung
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

  • ● Wenn P(A∩B) = P(A) · P(B) gilt.
  • ○ Wenn P(A∩B) = 0 gilt.
  • ○ Wenn P(A) = P(B) gilt.
  • ○ Wenn A und B disjunkt sind.
Stochastische Unabhängigkeit ist definiert durch P(A∩B) = P(A)·P(B). Das Eintreten von A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von B nicht.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,2. Sind A und B unabhängig? Gib 1 für ja, 0 für nein ein.

✓ Antwort: 1
P(A)·P(B) = 0,4·0,5 = 0,2 = P(A∩B). Die Bedingung ist erfüllt, also sind A und B stochastisch unabhängig.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Wenn A und B unabhängig sind, gilt P_B(A) = P(___)

✓ Antwort: A
Bei Unabhängigkeit ändert das Eintreten von B nichts an der Wahrscheinlichkeit von A: P_B(A) = P(A).
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(A∩B) = 0,24. Sind A und B unabhängig? Gib 1 für ja, 0 für nein ein.

✓ Antwort: 0
P(A)·P(B) = 0,3·0,6 = 0,18 ≠ 0,24 = P(A∩B). Also sind A und B nicht stochastisch unabhängig.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Zweimaliges Werfen eines fairen Würfels. A = '1. Wurf zeigt 6', B = '2. Wurf zeigt 6'. P(A∩B) = ___.

✓ Antwort: 1/36
Die Würfe sind unabhängig. P(A∩B) = P(A)·P(B) = (1/6)·(1/6) = 1/36.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Eine Münze wird 3-mal geworfen (unabhängig). Wie groß ist P(3× Kopf)? Gib die Antwort als Dezimalzahl an.

✓ Antwort: 0.125
P(3× Kopf) = (1/2)³ = 1/8 = 0,125.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind aufeinanderfolgende Züge stochastisch unabhängig.

✓ Falsch
Falsch. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit. Die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Zuges hängen vom Ergebnis des ersten ab — daher besteht stochastische Abhängigkeit.
Lückentext #8 10s ▶ Testen

Die Formel zur Prüfung stochastischer Unabhängigkeit lautet: P(A∩B) = P(A) · P(___).

✓ Antwort: B
Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A) · P(B).
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne sind aufeinanderfolgende Züge stochastisch unabhängig.

✓ Wahr
Richtig. Durch das Zurücklegen wird die Zusammensetzung der Urne nicht verändert, die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

Wenn zwei Ereignisse disjunkt sind (A∩B = ∅), sind sie immer stochastisch unabhängig.

✓ Falsch
Falsch. Disjunkte Ereignisse mit P(A) > 0 und P(B) > 0 sind stets abhängig, denn P(A∩B) = 0 ≠ P(A)·P(B) > 0.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

In einem Baumdiagramm erkennt man stochastische Unabhängigkeit daran, dass:

  • ● Die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe gleich sind, unabhängig vom Ergebnis der ersten Stufe.
  • ○ Alle Pfadwahrscheinlichkeiten gleich sind.
  • ○ Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
  • ○ Es nur zwei Stufen gibt.
Bei Unabhängigkeit gilt P_A(B) = P_Ā(B) = P(B). Im Baumdiagramm sieht man, dass die Zweige der zweiten Stufe unabhängig vom Ausgang der ersten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben.
Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann sind auch Ā und B unabhängig.

✓ Wahr
Richtig. Aus der Unabhängigkeit von A und B folgt die Unabhängigkeit der Gegenereignisse. P(Ā∩B) = P(B) − P(A∩B) = P(B) − P(A)P(B) = P(B)(1−P(A)) = P(Ā)·P(B).
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Eine Vierfeldertafel zeigt: P(A∩B)=0,15; P(A∩B̄)=0,35; P(Ā∩B)=0,15; P(Ā∩B̄)=0,35. Sind A und B unabhängig?

  • ● Ja, denn P(A)·P(B) = 0,5·0,3 = 0,15 = P(A∩B).
  • ○ Nein, denn P(A) ≠ P(B).
  • ○ Ja, denn die Tabelle ist symmetrisch.
  • ○ Nein, denn P(A∩B) ≠ 0.
P(A) = 0,15+0,35 = 0,5; P(B) = 0,15+0,15 = 0,3. P(A)·P(B) = 0,15 = P(A∩B). ✓
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

P(A) = 0,5; P_A(B) = 0,3; P_Ā(B) = 0,3. Welche Schlussfolgerung ist richtig?

  • ● A und B sind stochastisch unabhängig.
  • ○ A und B sind stochastisch abhängig.
  • ○ A und B sind disjunkt.
  • ○ Man kann keine Aussage treffen.
P_A(B) = P_Ā(B) = 0,3 = P(B). Das Eintreten von A ändert nichts an P(B) — das ist die Definition von Unabhängigkeit.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

P(A) = 0,6; P(B) = 0,5. A und B sind unabhängig. Berechne P(A ∪ B).

✓ Antwort: 0.8
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0,6 + 0,5 − 0,6·0,5 = 1,1 − 0,3 = 0,8.