Tangente und Tangentengleichung
Die Tangentengleichung im Punkt (x₀|f(x₀)) lautet: y = f'(x₀) · (x − x₀) + ___.
Erklärung: Die Tangente ist eine Gerade durch (x₀|f(x₀)) mit Steigung f'(x₀): y = f'(x₀)·(x−x₀) + f(x₀).
f(x) = x². Wie lautet die Gleichung der Tangente an der Stelle x₀ = 1?
Erklärung: f'(x) = 2x, also f'(1) = 2 und f(1) = 1. Tangente y = 2·(x − 1) + 1 = 2x − 1.
f(x) = x². Die Tangente an der Stelle x₀ = 3 hat die Steigung m = ___.
Erklärung: f'(x) = 2x, also m = f'(3) = 6.
Eine Tangente an einen Funktionsgraphen darf den Graphen an einer anderen Stelle schneiden.
Erklärung: Richtig. „Tangente" heißt nur, dass die Gerade an der Berührstelle dieselbe Steigung wie der Graph hat. Weiter weg darf sie den Graphen durchaus schneiden — anders als beim Kreis.
Eine Tangente berührt einen Funktionsgraphen immer in genau einem Punkt und schneidet ihn nie.
Erklärung: Falsch — dieses Bild stammt vom Kreis. Bei f(x) = x³ ist die x-Achse Tangente im Ursprung und geht dort sogar durch den Graphen hindurch.
Man zoomt am Punkt (xâ‚€|f(xâ‚€)) immer weiter in den Graphen einer (differenzierbaren) Funktion hinein. Was beobachtet man?
Erklärung: Das ist die lokale Linearität: Im Kleinen ist ein differenzierbarer Graph fast eine Gerade, und diese Gerade ist genau die Tangente.
f(x) = x³. Die Tangente an der Stelle x₀ = 0 ist die Gerade y = ___.
Erklärung: f'(x) = 3x², also f'(0) = 0 und f(0) = 0. Die Tangente ist die x-Achse y = 0 — und sie durchsetzt den Graphen im Ursprung.
Welche Eigenschaft hat die Tangente im Punkt (xâ‚€|f(xâ‚€)) immer?
Erklärung: Die Tangente geht durch den Berührpunkt und übernimmt dort die Steigung f'(x₀) — mehr sagt der Begriff nicht.
Die Tangente ist die Gerade, die den Funktionsgraphen in der Nähe der Berührstelle am besten annähert.
Erklärung: Richtig. Die Tangente ist die beste lineare Näherung des Graphen an der Berührstelle — das nutzt z. B. das Newton-Verfahren aus.
Für f gilt: f(1) = 2 und f'(1) = −3. Wie lautet die Tangente an der Stelle x₀ = 1?
Erklärung: y = f'(1)·(x − 1) + f(1) = −3(x − 1) + 2 = −3x + 5. Achtung, f(1) = 2 ist der Funktionswert an der Berührstelle, nicht der y-Achsenabschnitt.
Tim setzt für f(x) = x² an der Stelle x₀ = 3 einfach y = f′(3)·x + f(3) an. Welche Gerade ist die richtige Tangente?
Erklärung: f(3) = 9 und f′(3) = 6. Richtig ist die Punkt-Steigungs-Form y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9. Tims y = 6x + 9 benutzt f(x₀) als y-Achsenabschnitt — aber f(x₀) ist der Funktionswert am Berührpunkt. y = 6x − 18 vergisst das + f(x₀).
Für den Steigungswinkel α der Tangente gilt tan α = f′(x₀).
Erklärung: Richtig. Die Steigung einer Geraden ist der Tangens ihres Steigungswinkels — so kommt man von f′(x₀) zum Winkel.
f(x) = ½x². Die Tangente an der Stelle x₀ = 2 lautet y = ___ (Form mx + t).
Erklärung: f'(x) = x, also f'(2) = 2 und f(2) = 2. Tangente y = 2(x − 2) + 2 = 2x − 2.
f(x) = x². Die Tangente bei x₀ = 2 hat die Gleichung y = 4x − 4. Berechne den y-Wert der Tangente bei x = 3.
Erklärung: y = 4·3 − 4 = 12 − 4 = 8.
f(x) = 2x² + x. Berechne den Steigungswinkel der Tangente bei x₀ = 1 in Grad (auf ganze Grad gerundet).
Erklärung: f'(x) = 4x+1, f'(1) = 5. Steigungswinkel α = arctan(5) ≈ 78,69° ≈ 79°.