Tangente und Tangentengleichung

Tangent and Tangent Equation

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben
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Die Tangente an einen Graphen im Punkt (x₀, f(x₀)) hat die Gleichung y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀); ihre Steigung ist der Ableitungswert f′(x₀), aus dem sich der Steigungswinkel ergibt. Dahinter steht die lokale Linearität: Beim Hineinzoomen wird der Graph an einer Stelle selbst zur Geraden, und die Tangente ist die beste lineare Näherung. Das vom Kreis geerbte Fehlbild — eine Tangente berühre „in genau einem Punkt und schneide nie" — trifft hier nicht zu: Die Tangente an einen Funktionsgraphen darf ihn anderswo schneiden, an Wendestellen sogar durchsetzen. Das bereitet Newton-Verfahren und lineare Approximation vor.

Voraussetzungen (1)

Ableitungsregeln
Klasse 11
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Leicht
Lückentext #1 15s ▶ Testen

Die Tangentengleichung im Punkt (x₀|f(x₀)) lautet: y = f'(x₀) · (x − x₀) + ___.

✓ Antwort: f(x₀)
Die Tangente ist eine Gerade durch (x₀|f(x₀)) mit Steigung f'(x₀): y = f'(x₀)·(x−x₀) + f(x₀).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

f(x) = x². Wie lautet die Gleichung der Tangente an der Stelle x₀ = 1?

  • ● y = 2x − 1
  • ○ y = 2x + 1
  • ○ y = x − 1
  • ○ y = 2x
f'(x) = 2x, also f'(1) = 2 und f(1) = 1. Tangente y = 2·(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

f(x) = x². Die Tangente an der Stelle x₀ = 3 hat die Steigung m = ___.

✓ Antwort: 6
f'(x) = 2x, also m = f'(3) = 6.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Man zoomt am Punkt (x₀|f(x₀)) immer weiter in den Graphen einer (differenzierbaren) Funktion hinein. Was beobachtet man?

  • ● Der Graph sieht immer mehr wie eine Gerade aus — die Tangente.
  • ○ Der Graph wird immer stärker gekrümmt.
  • ○ Der Graph sieht aus wie eine Parabel.
  • ○ Es ändert sich nichts am Aussehen.
Das ist die lokale Linearität: Im Kleinen ist ein differenzierbarer Graph fast eine Gerade, und diese Gerade ist genau die Tangente.
Multiple Choice #5 12s ▶ Testen

Welche Eigenschaft hat die Tangente im Punkt (x₀|f(x₀)) immer?

  • ● Sie hat an der Berührstelle dieselbe Steigung wie der Graph.
  • ○ Sie verläuft durch den Ursprung.
  • ○ Sie liegt komplett oberhalb des Graphen.
  • ○ Sie steht senkrecht auf dem Graphen.
Die Tangente geht durch den Berührpunkt und übernimmt dort die Steigung f'(x₀) — mehr sagt der Begriff nicht.
Wahr / Falsch #6 12s ▶ Testen

Die Tangente ist die Gerade, die den Funktionsgraphen in der Nähe der Berührstelle am besten annähert.

✓ Wahr
Richtig. Die Tangente ist die beste lineare Näherung des Graphen an der Berührstelle — das nutzt z. B. das Newton-Verfahren aus.
Wahr / Falsch #7 12s ▶ Testen

Für den Steigungswinkel α der Tangente gilt tan α = f′(x₀).

✓ Wahr
Richtig. Die Steigung einer Geraden ist der Tangens ihres Steigungswinkels — so kommt man von f′(x₀) zum Winkel.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

f(x) = x². Die Tangente bei x₀ = 2 hat die Gleichung y = 4x − 4. Berechne den y-Wert der Tangente bei x = 3.

✓ Antwort: 8
y = 4·3 − 4 = 12 − 4 = 8.
Mittel
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Eine Tangente an einen Funktionsgraphen darf den Graphen an einer anderen Stelle schneiden.

✓ Wahr
Richtig. „Tangente" heißt nur, dass die Gerade an der Berührstelle dieselbe Steigung wie der Graph hat. Weiter weg darf sie den Graphen durchaus schneiden — anders als beim Kreis.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Eine Tangente berührt einen Funktionsgraphen immer in genau einem Punkt und schneidet ihn nie.

✓ Falsch
Falsch — dieses Bild stammt vom Kreis. Bei f(x) = x³ ist die x-Achse Tangente im Ursprung und geht dort sogar durch den Graphen hindurch.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

f(x) = x³. Die Tangente an der Stelle x₀ = 0 ist die Gerade y = ___.

✓ Antwort: 0
f'(x) = 3x², also f'(0) = 0 und f(0) = 0. Die Tangente ist die x-Achse y = 0 — und sie durchsetzt den Graphen im Ursprung.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für f gilt: f(1) = 2 und f'(1) = −3. Wie lautet die Tangente an der Stelle x₀ = 1?

  • ● y = −3x + 5
  • ○ y = −3x + 2
  • ○ y = −3x − 5
  • ○ y = 2x − 3
y = f'(1)·(x − 1) + f(1) = −3(x − 1) + 2 = −3x + 5. Achtung, f(1) = 2 ist der Funktionswert an der Berührstelle, nicht der y-Achsenabschnitt.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Tim setzt für f(x) = x² an der Stelle x₀ = 3 einfach y = f′(3)·x + f(3) an. Welche Gerade ist die richtige Tangente?

  • ○ y = 6x + 9
  • ● y = 6x − 9
  • ○ y = 6x − 18
f(3) = 9 und f′(3) = 6. Richtig ist die Punkt-Steigungs-Form y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9. Tims y = 6x + 9 benutzt f(x₀) als y-Achsenabschnitt — aber f(x₀) ist der Funktionswert am Berührpunkt. y = 6x − 18 vergisst das + f(x₀).
Lückentext #6 25s ▶ Testen

f(x) = ½x². Die Tangente an der Stelle x₀ = 2 lautet y = ___ (Form mx + t).

✓ Antwort: 2x − 2
f'(x) = x, also f'(2) = 2 und f(2) = 2. Tangente y = 2(x − 2) + 2 = 2x − 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

f(x) = 2x² + x. Berechne den Steigungswinkel der Tangente bei x₀ = 1 in Grad (auf ganze Grad gerundet).

✓ Antwort: 79
f'(x) = 4x+1, f'(1) = 5. Steigungswinkel α = arctan(5) ≈ 78,69° ≈ 79°.