Die Folge (aₙ) mit aₙ = 2n + 1 hat als drittes Glied a₃ = ___.

Erklärung: a₃ = 2·3 + 1 = 7.

Welche der folgenden Folgen ist arithmetisch?

Erklärung: Eine arithmetische Folge hat die Form aₙ = a₁ + (n−1)·d, also einen linearen Ausdruck in n. aₙ = 3n − 1 ist linear mit d = 3.

Eine geometrische Folge hat einen konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Glieder.

Erklärung: Richtig. Bei einer geometrischen Folge gilt aₙ₊₁/aₙ = q (konstant) für alle n.

Eine arithmetische Folge hat a₁ = 5 und d = 3. Berechne a₁₀.

Erklärung: aₙ = a₁ + (n−1)·d. a₁₀ = 5 + 9·3 = 5 + 27 = 32.

Eine geometrische Folge hat a₁ = 2 und q = 3. Dann ist a₄ = ___.

Erklärung: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. a₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54.

Die Folge aₙ = (−1)ⁿ ist:

Erklärung: Die Folgeglieder alternieren zwischen −1 und 1. Daher ist die Folge nicht monoton.

Berechne die Partialsumme S₅ = a₁ + a₂ + … + a₅ für die arithmetische Folge aₙ = 2n.

Erklärung: S₅ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30. Oder mit der Formel: S₅ = 5/2 · (2 + 10) = 5/2 · 12 = 30.

Die Folge aₙ = 1/n ist streng monoton fallend.

Erklärung: Richtig. Für n ≥ 1 gilt aₙ₊₁ = 1/(n+1) < 1/n = aₙ, also ist die Folge streng monoton fallend.

Die rekursive Definition a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 4 beschreibt eine ___ Folge mit d = 4.

Erklärung: Die konstante Differenz aₙ₊₁ − aₙ = 4 kennzeichnet eine arithmetische Folge.

Die geometrische Folge hat a₁ = 1 und q = 2. Berechne die Partialsumme S₆ = a₁ + a₂ + … + a₆.

Erklärung: Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1). S₆ = 1 · (2⁶ − 1)/(2 − 1) = (64 − 1)/1 = 63.

Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet:

Erklärung: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2. Diese Formel wird auch Gaußsche Summenformel genannt.

Berechne 1 + 2 + 3 + … + 100.

Erklärung: n(n+1)/2 = 100·101/2 = 5050.

Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: aₙ₊₁ ___ aₙ.

Erklärung: Streng monoton steigend bedeutet, dass jedes Folgeglied echt größer als sein Vorgänger ist.

Die Folge aₙ = n² − 3n hat als erstes positives Glied:

Erklärung: a₁ = −2, a₂ = −2, a₃ = 0, a₄ = 4. Das erste positive Glied ist a₄ = 4.

Eine arithmetische Folge hat a₃ = 11 und a₇ = 23. Berechne die Differenz d.

Erklärung: a₇ = a₃ + 4d → 23 = 11 + 4d → d = 3.

Die Partialsumme einer geometrischen Folge mit |q| < 1 kann für n → ∞ einen endlichen Wert annähern.

Erklärung: Richtig. Für |q| < 1 konvergiert die geometrische Reihe gegen a₁/(1−q).

Berechne die Summe 1² + 2² + 3² + 4² + 5².

Erklärung: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55. Die allgemeine Formel lautet n(n+1)(2n+1)/6.

Die geometrische Folge mit a₁ = 5 und q = 1/2 hat das allgemeine Glied aₙ = 5 · ___.

Erklärung: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ = 5 · (1/2)ⁿ⁻¹.

Die Folge aₙ = (n+1)/n ist:

Erklärung: aₙ = 1 + 1/n. Da 1/n streng monoton fällt, fällt auch aₙ streng monoton.

Eine geometrische Folge hat a₂ = 6 und a₅ = 162. Berechne q.

Erklärung: a₅ = a₂ · q³ → 162 = 6 · q³ → q³ = 27 → q = 3.

Jede arithmetische Folge mit positiver Differenz d > 0 ist streng monoton steigend.

Erklärung: Richtig. aₙ₊₁ − aₙ = d > 0 bedeutet, dass jedes Glied größer als das vorherige ist.

Berechne die Partialsumme der arithmetischen Folge mit a₁ = 3, d = 5 für n = 8.

Erklärung: a₈ = 3 + 7·5 = 38. S₈ = 8/2 · (3 + 38) = 4 · 41 = 164.

Die Folge aₙ = 3 · (−1/2)ⁿ ist:

Erklärung: Es ist eine geometrische Folge mit q = −1/2. Da q negativ ist, alternieren die Vorzeichen.

Bestimme das arithmetische Mittel der Zahlen a₃ = 7 und a₅ = 13 (Mittelwert = a₄ in einer arithmetischen Folge).

Erklärung: In einer arithmetischen Folge ist a₄ = (a₃ + a₅)/2 = (7 + 13)/2 = 10.

Die Formel für die Partialsumme einer arithmetischen Folge lautet Sₙ = n/2 · (a₁ + ___).

Erklärung: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n−1)d).

Aufgabe 1 von 25