Zahlenfolgen
Sequences
Eine Folge ist eine Funktion auf den natürlichen Zahlen; sie lässt sich explizit (aₙ = 2n − 1) oder rekursiv (a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2) angeben. Arithmetische Folgen haben eine konstante Differenz, geometrische einen konstanten Faktor — die beiden Grundmuster, auch in Sachkontexten wie Sparplänen und Wachstumsprozessen, samt Partialsummen. Die typische Hürde ist der Wechsel zwischen aₙ und aₙ₊₁ in Rekursionen und der Indexbeginn. Grundlage für Grenzwerte und die vollständige Induktion.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Die Folge (aₙ) mit aₙ = 2n + 1 hat als drittes Glied a₃ = ___.
Welche der folgenden Folgen ist arithmetisch?
Eine geometrische Folge hat einen konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Glieder.
Eine arithmetische Folge hat a₁ = 5 und d = 3. Berechne a₁₀.
Eine geometrische Folge hat a₁ = 2 und q = 3. Dann ist a₄ = ___.
Die Folge aₙ = (−1)ⁿ ist:
Berechne die Partialsumme S₅ = a₁ + a₂ + … + a₅ für die arithmetische Folge aₙ = 2n.
Die Folge aₙ = 1/n ist streng monoton fallend.
Die rekursive Definition a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 4 beschreibt eine ___ Folge mit d = 4.
Die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen lautet:
Berechne 1 + 2 + 3 + … + 100.
Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: aₙ₊₁ ___ aₙ.
Berechne die Summe 1² + 2² + 3² + 4² + 5².
Jede arithmetische Folge mit positiver Differenz d > 0 ist streng monoton steigend.
Bestimme das arithmetische Mittel der Zahlen a₃ = 7 und a₅ = 13 (Mittelwert = a₄ in einer arithmetischen Folge).
Die Formel für die Partialsumme einer arithmetischen Folge lautet Sₙ = n/2 · (a₁ + ___).
Die geometrische Folge hat a₁ = 1 und q = 2. Berechne die Partialsumme S₆ = a₁ + a₂ + … + a₆.
Die Folge aₙ = n² − 3n hat als erstes positives Glied:
Eine arithmetische Folge hat a₃ = 11 und a₇ = 23. Berechne die Differenz d.
Die Partialsumme einer geometrischen Folge mit |q| < 1 kann für n → ∞ einen endlichen Wert annähern.
Die geometrische Folge mit a₁ = 5 und q = 1/2 hat das allgemeine Glied aₙ = 5 · ___.
Die Folge aₙ = (n+1)/n ist:
Eine geometrische Folge hat a₂ = 6 und a₅ = 162. Berechne q.
Berechne die Partialsumme der arithmetischen Folge mit a₁ = 3, d = 5 für n = 8.
Die Folge aₙ = 3 · (−1/2)ⁿ ist: