Welche Situation ist eine Bernoulli-Kette?

Erklärung: Eine Bernoulli-Kette braucht unabhängige Versuche mit konstantem p und zwei Ausgängen — das erfüllt nur das Glücksrad. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p von Karte zu Karte, beim Dartspieler hängt p vom vorherigen Wurf ab.

Aus einer Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln wird 5-mal MIT Zurücklegen gezogen, X zählt die roten Kugeln. Das ist eine Bernoulli-Kette.

Erklärung: Richtig. Durch das Zurücklegen bleibt p = 0,3 bei jedem Zug gleich und die Züge sind unabhängig — alle Bedingungen sind erfüllt.

Aus derselben Urne wird 5-mal OHNE Zurücklegen gezogen. Auch das ist eine Bernoulli-Kette.

Erklärung: Falsch. Ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Zug zu Zug und die Züge sind abhängig — das Binomialmodell passt hier nicht.

Ein Würfel wird 12-mal geworfen. Welche Treffer-Definition macht daraus eine Bernoulli-Kette mit p = 1/3?

Erklärung: Entscheidend ist die Brille, mit der man auf das Experiment schaut: Die sechs Augenzahlen werden zu Treffer/Niete zusammengefasst. „5 oder 6" trifft 2 von 6 Ausgängen, also p = 2/6 = 1/3. „Augenzahl 3" ergäbe p = 1/6, „gerade" ergäbe p = 1/2.

Eine Mannschaft schießt 10 Elfmeter auf denselben Torwart. Der Torwart lernt mit: Mit jedem Schuss sinkt die Trefferwahrscheinlichkeit. X zählt die Tore. Welche Bernoulli-Bedingung ist hier verletzt?

Erklärung: Konstantes p, Unabhängigkeit und zwei Ausgänge — das verlangt das Modell. Hier sinkt p von Schuss zu Schuss. Zwei Ausgänge (Tor/kein Tor) und die feste Anzahl n = 10 sind dagegen erfüllt.

Beim Roulette ist fünfmal hintereinander Rot gekommen. Beim sechsten Spiel ist Schwarz jetzt wahrscheinlicher als sonst.

Erklärung: Falsch — das ist der Spielerfehlschluss. Die Spiele sind unabhängig, das Rad hat kein Gedächtnis. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Spiel gleich.

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen heißt ___-Experiment.

Erklärung: Nach Jakob Bernoulli. Die Ausgänge nennt man Treffer und Niete.

Ein Test besteht aus 8 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Jemand rät bei jeder Frage. X zählt die richtigen Antworten. Welche Parameter hat die Bernoulli-Kette?

Erklärung: 8 unabhängige Versuche (Fragen), Treffer = richtig geraten mit p = 1/4 pro Frage.

Eine Reißzwecke landet mit p = 0,6 auf dem Rücken. Sie wird 7-mal geworfen, X zählt die Rücken-Landungen. Das ist eine Bernoulli-Kette.

Erklärung: Richtig. p muss nicht 0,5 sein — es darf jeden festen Wert zwischen 0 und 1 haben. Entscheidend ist nur, dass bei jedem Wurf dasselbe p gilt und die Würfe unabhängig sind.

Welche Situation ist KEINE Bernoulli-Kette?

Erklärung: Ohne Zurücklegen sind die Züge abhängig und p ändert sich — die anderen beiden Situationen erfüllen alle Bedingungen.

Bei n = 5 und Trefferwahrscheinlichkeit p haben die Ergebnisfolgen „TTNNN" und „NTNTN" (je 2 Treffer) dieselbe Wahrscheinlichkeit p² · (1 − p)³.

Erklärung: Richtig. Wegen der Unabhängigkeit multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades — die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle.

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge mit k Treffern bei n Versuchen ist: p^k · (1 − p)^___.

Erklärung: k Treffer liefern den Faktor p^k, die übrigen n − k Nieten den Faktor (1 − p)^(n−k).

In einer laufenden Produktion sind erfahrungsgemäß 2 % der Teile fehlerhaft. Es werden 50 Teile geprüft, X zählt die fehlerhaften. Welches Modell passt?

Erklärung: Treffer = „Teil fehlerhaft" mit p = 0,02, n = 50 unabhängige Prüfungen. Wichtig: p gehört zum Treffer-Ereignis, das X zählt.

In einem Online-Spiel enthält jede Kiste mit p = 0,1 einen seltenen Gegenstand. Ben öffnet 20 statt 10 Kisten. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit pro Kiste auf 0,2.

Erklärung: Falsch. n und p sind unabhängige Parameter — mehr Versuche ändern nichts an der Wahrscheinlichkeit des einzelnen Versuchs. Jede Kiste hat weiter p = 0,1.

Aufgabe 1 von 14