Bernoulli-Kette — das Modell erkennen

Bernoulli Trials — Recognising the Model

Mathematik Klasse 12 14 Aufgaben

StochastikWahrscheinlichkeitBernoulli-KetteKerncurriculum

Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn vier Bedingungen erfüllt sind: genau zwei Ausgänge (Treffer/Niete), fester Umfang n, konstante Trefferwahrscheinlichkeit p und unabhängige Versuche. Ziehen mit Zurücklegen erfüllt sie, ohne Zurücklegen nicht; „Augenzahl 6" lässt sich als Treffer/Niete lesen, obwohl der Würfel sechs Seiten hat. Ausgeräumt werden der Spielerfehlschluss („nach fünf Nieten ist ein Treffer überfällig" — die Kette hat kein Gedächtnis) und das blinde Anwenden der Binomialverteilung auf abhängige Ziehungen (Krüger, Sill & Sikora 2015; Eichler & Vogel). Das Sinnfundament, auf dem die Bernoulli-Formel steht.

Voraussetzungen (1)

Stochastische Unabhängigkeit

Klasse 11

›

Ermöglicht (1)

Binomialverteilung — Formel, Erwartungswert und Varianz

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Situation ist eine Bernoulli-Kette?

● Ein Glücksrad mit Gewinn-Wahrscheinlichkeit p = 0,2 wird 8-mal gedreht, X zählt die Gewinne.
○ Aus einem Kartenstapel werden nacheinander 4 Karten ohne Zurücklegen gezogen, X zählt die Asse.
○ Ein Dartspieler wirft 6 Pfeile; mit jedem Treffer steigt seine Trefferquote für den nächsten Wurf.

Eine Bernoulli-Kette braucht unabhängige Versuche mit konstantem p und zwei Ausgängen — das erfüllt nur das Glücksrad. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p von Karte zu Karte, beim Dartspieler hängt p vom vorherigen Wurf ab.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Aus einer Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln wird 5-mal MIT Zurücklegen gezogen, X zählt die roten Kugeln. Das ist eine Bernoulli-Kette.

✓ Wahr

Richtig. Durch das Zurücklegen bleibt p = 0,3 bei jedem Zug gleich und die Züge sind unabhängig — alle Bedingungen sind erfüllt.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Aus derselben Urne wird 5-mal OHNE Zurücklegen gezogen. Auch das ist eine Bernoulli-Kette.

✓ Falsch

Falsch. Ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Zug zu Zug und die Züge sind abhängig — das Binomialmodell passt hier nicht.

Lückentext #4 10s ▶ Testen

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen heißt ___-Experiment.

✓ Antwort: Bernoulli

Nach Jakob Bernoulli. Die Ausgänge nennt man Treffer und Niete.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Test besteht aus 8 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Jemand rät bei jeder Frage. X zählt die richtigen Antworten. Welche Parameter hat die Bernoulli-Kette?

● n = 8, p = 0,25
○ n = 8, p = 0,5
○ n = 32, p = 0,25

8 unabhängige Versuche (Fragen), Treffer = richtig geraten mit p = 1/4 pro Frage.

Wahr / Falsch #6 12s ▶ Testen

Eine Reißzwecke landet mit p = 0,6 auf dem Rücken. Sie wird 7-mal geworfen, X zählt die Rücken-Landungen. Das ist eine Bernoulli-Kette.

✓ Wahr

Richtig. p muss nicht 0,5 sein — es darf jeden festen Wert zwischen 0 und 1 haben. Entscheidend ist nur, dass bei jedem Wurf dasselbe p gilt und die Würfe unabhängig sind.

Lückentext #7 15s ▶ Testen

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge mit k Treffern bei n Versuchen ist: p^k · (1 − p)^___.

✓ Antwort: n − k

k Treffer liefern den Faktor p^k, die übrigen n − k Nieten den Faktor (1 − p)^(n−k).

Wahr / Falsch #8 12s ▶ Testen

In einem Online-Spiel enthält jede Kiste mit p = 0,1 einen seltenen Gegenstand. Ben öffnet 20 statt 10 Kisten. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit pro Kiste auf 0,2.

✓ Falsch

Falsch. n und p sind unabhängige Parameter — mehr Versuche ändern nichts an der Wahrscheinlichkeit des einzelnen Versuchs. Jede Kiste hat weiter p = 0,1.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird 12-mal geworfen. Welche Treffer-Definition macht daraus eine Bernoulli-Kette mit p = 1/3?

● Treffer bedeutet „Augenzahl 5 oder 6".
○ Treffer bedeutet „Augenzahl 3".
○ Treffer bedeutet „gerade Augenzahl".

Entscheidend ist die Brille, mit der man auf das Experiment schaut: Die sechs Augenzahlen werden zu Treffer/Niete zusammengefasst. „5 oder 6" trifft 2 von 6 Ausgängen, also p = 2/6 = 1/3. „Augenzahl 3" ergäbe p = 1/6, „gerade" ergäbe p = 1/2.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Eine Mannschaft schießt 10 Elfmeter auf denselben Torwart. Der Torwart lernt mit: Mit jedem Schuss sinkt die Trefferwahrscheinlichkeit. X zählt die Tore. Welche Bernoulli-Bedingung ist hier verletzt?

● Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist nicht bei jedem Versuch gleich.
○ Es gibt mehr als zwei Ausgänge pro Versuch.
○ Die Anzahl der Versuche n steht nicht von Anfang an fest.

Konstantes p, Unabhängigkeit und zwei Ausgänge — das verlangt das Modell. Hier sinkt p von Schuss zu Schuss. Zwei Ausgänge (Tor/kein Tor) und die feste Anzahl n = 10 sind dagegen erfüllt.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Beim Roulette ist fünfmal hintereinander Rot gekommen. Beim sechsten Spiel ist Schwarz jetzt wahrscheinlicher als sonst.

✓ Falsch

Falsch — das ist der Spielerfehlschluss. Die Spiele sind unabhängig, das Rad hat kein Gedächtnis. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Spiel gleich.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Situation ist KEINE Bernoulli-Kette?

● Aus einer Schachtel mit 10 Losen werden nacheinander 3 Lose ohne Zurücklegen gezogen.
○ Eine Münze wird 20-mal geworfen, X zählt „Kopf".
○ Eine Basketballspielerin mit konstanter Trefferquote wirft 15 Freiwürfe.

Ohne Zurücklegen sind die Züge abhängig und p ändert sich — die anderen beiden Situationen erfüllen alle Bedingungen.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Bei n = 5 und Trefferwahrscheinlichkeit p haben die Ergebnisfolgen „TTNNN" und „NTNTN" (je 2 Treffer) dieselbe Wahrscheinlichkeit p² · (1 − p)³.

✓ Wahr

Richtig. Wegen der Unabhängigkeit multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades — die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

In einer laufenden Produktion sind erfahrungsgemäß 2 % der Teile fehlerhaft. Es werden 50 Teile geprüft, X zählt die fehlerhaften. Welches Modell passt?

● Bernoulli-Kette mit n = 50 und p = 0,02.
○ Bernoulli-Kette mit n = 50 und p = 0,98.
○ Bernoulli-Kette mit n = 2 und p = 0,5.

Treffer = „Teil fehlerhaft" mit p = 0,02, n = 50 unabhängige Prüfungen. Wichtig: p gehört zum Treffer-Ereignis, das X zählt.