Die Parametergleichung einer Geraden durch P₀ mit Richtungsvektor a⃗ lautet: x⃗ = x⃗₀ + ___.

Erklärung: x⃗ = x⃗₀ + t·a⃗, wobei t alle reellen Zahlen durchläuft.

Eine Gerade wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt. Welche Einschränkung gilt für den Richtungsvektor?

Erklärung: Der Richtungsvektor muss vom Nullvektor verschieden sein, damit eine Richtung festgelegt wird.

Für t ≥ 0 beschreibt x⃗ = x⃗₀ + t·a⃗ einen Strahl (Halbgerade) mit Anfangspunkt P₀.

Erklärung: Richtig. Einschränkung t ≥ 0 ergibt den Strahl von P₀ in Richtung a⃗.

Die Strecke von P₀ nach P₁ wird parametrisch beschrieben durch x⃗ = x⃗₀ + t·(x⃗₁ − x⃗₀) mit ___ ≤ t ≤ ___.

Erklärung: Für t = 0 erhält man P₀, für t = 1 erhält man P₁. Also 0 ≤ t ≤ 1.

Welche Lagebeziehungen können zwei Geraden im Raum haben?

Erklärung: Im Raum gibt es vier Möglichkeiten: identisch (gleiche Gerade), echt parallel (kein Schnittpunkt, aber a⃗ ∥ b⃗), schneidend (ein Schnittpunkt), windschief (nicht parallel, kein Schnittpunkt).

In der Ebene können zwei Geraden windschief zueinander sein.

Erklärung: Falsch. Windschief gibt es nur im Raum. In der Ebene sind nicht-parallele Geraden stets schneidend.

Die Gerade g geht durch P₀(2; 1) mit Richtungsvektor a⃗(2; 3). Berechne den Anstieg m der Geraden.

Erklärung: m = a₂/a₁ = 3/2 = 1,5.

Die parameterfreie Gleichung einer Geraden in der Ebene durch P₀(2; 1) mit Anstieg m = 3/2 lautet:

Erklärung: Punktrichtungsgleichung: y − y₀ = m(x − x₀), also y − 1 = (3/2)(x − 2), vereinfacht: y = (3/2)x − 2.

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g: y = 2x − 1 und h: y = −x + 5. Gib die x-Koordinate an.

Erklärung: 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2. (y = 2·2 − 1 = 3, also S(2; 3).)

Zwei Geraden g: y = m₁x + n₁ und h: y = m₂x + n₂ sind parallel genau dann, wenn m₁ = m₂ und n₁ ≠ n₂.

Erklärung: Richtig. Gleicher Anstieg = parallele Richtung. Verschiedene y-Achsenabschnitte = verschiedene Geraden.

Die Gerade g: x⃗ = (4; 6; 0) + t(−2; −3; 3) und die x-Achse sind:

Erklärung: x-Achse: x⃗ = r(1;0;0). Der Richtungsvektor (−2;−3;3) ist nicht parallel zu (1;0;0). Gleichsetzen: 4−2t = r, 6−3t = 0 → t = 2, 0+3t = 0 → t = 0. Widerspruch. Also windschief.

Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden g: x⃗ = (1;1,5;3) + t(3;1,5;−1,5) mit der xz-Ebene (y = 0). Gib die x-Koordinate des Schnittpunkts an.

Erklärung: y = 0: 1,5 + 1,5t = 0 → t = −1. x = 1 + 3(−1) = −2. z = 3 − 1,5(−1) = 4,5. Schnittpunkt: (−2; 0; 4,5).

Die Zweipunktegleichung einer Geraden durch P₀(x₀; y₀) und P₁(x₁; y₁) lautet: (y − y₀)/(___) = (x − x₀)/(x₁ − x₀).

Erklärung: (y − y₀)/(y₁ − y₀) = (x − x₀)/(x₁ − x₀) — die Zweipunktegleichung.

Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum parallel sind, aber die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben, sind die Geraden parallel.

Erklärung: Richtig. Parallele Richtungsvektoren + kein gemeinsamer Punkt = echt parallele Geraden (nicht windschief, da windschief nur bei nicht-parallelen Richtungen).

Welche Gleichung ist eine parameterfreie Gleichung für die Gerade durch P₀(27; 34) und P₁(−3; −6)?

Erklärung: a⃗ = (−30; −40), also m = (−40)/(−30) = 4/3. y − 34 = (4/3)(x − 27) → 3y − 102 = 4x − 108 → 4x − 3y = 6.

Die Gerade g geht durch P₀(0; −2) und hat den Richtungsvektor a⃗(3; 2). Bei welchem Parameterwert t liegt der Punkt (6; 2) auf g?

Erklärung: x = 0 + 3t = 6 → t = 2. Probe: y = −2 + 2·2 = 2. ✓

g: x⃗ = (8;12;0) + t(1;2;−4) und h: x⃗ = (4;12;0) + s(6;0;−12). Wie ist die gegenseitige Lage?

Erklärung: (6;0;−12) = 6·(1;0;−2). Aber (1;2;−4) ≠ r·(1;0;−2) für jedes r. Also nicht parallel... Prüfen: (6;0;−12) = k·(1;2;−4)? k=6: (6;12;−24) ≠ (6;0;−12). Also nicht parallel. Gleichsetzen: 8+t = 4+6s, 12+2t = 12, 0−4t = 0−12s. Aus der zweiten: t = 0. Aus der ersten: 8 = 4+6s → s = 2/3. Aus der dritten: 0 = −12·(2/3) = −8 ≠ 0. Kein Schnittpunkt, nicht parallel → windschief.

Die allgemeine Geradengleichung in der Ebene lautet Ax + By = C, wobei A und B nicht beide 0 sein dürfen.

Erklärung: Richtig. A² + B² ≠ 0 stellt sicher, dass eine echte Gerade beschrieben wird.

Gegeben: g: x⃗ = (2;2;3) + t(−1;0;−1) und die xy-Ebene (z = 0). Gib die x-Koordinate des Durchstoßpunkts an.

Erklärung: z = 0: 3 − t = 0 → t = 3. x = 2 − 3 = −1. y = 2. Durchstoßpunkt: (−1; 2; 0).

Zur Achse parallele Geraden in der Ebene: Eine Gerade parallel zur x-Achse hat die Gleichung y = ___.

Erklärung: Geraden parallel zur x-Achse haben die Form y = y₀ (horizontale Geraden).

Ein Radarstation ortet ein Ziel bei P₁(24;5;7) und P₂(21;3;6.5). Der Richtungsvektor der Flugbahn ist:

Erklärung: a⃗ = P₂ − P₁ = (21−24; 3−5; 6,5−7) = (−3; −2; −0,5).

Die Gerade g: 2x − 3y = 6 schneidet die y-Achse bei y = ?.

Erklärung: x = 0: 2·0 − 3y = 6 → y = −2.

Aufgabe 1 von 22