Geraden: Analytische Geometrie
Lines: Analytic Geometry
Eine Parametergleichung x⃗ = x⃗₀ + t·a⃗ beschreibt eine Gerade als Stützpunkt (Ortsvektor) plus Richtungsvektor, mit dem Parameter t als „Laufvariable" entlang der Geraden. Zwei Geraden können in Ebene und Raum parallel, schneidend oder identisch sein und — nur im Raum — windschief; Schnittpunkte findet man durch Gleichsetzen. Dieselbe Gerade hat viele Parametergleichungen, denn Stützpunkt und Richtungsvektor sind nicht eindeutig. Und der Parameterwert t ist keine Koordinate des Punktes.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Die Parametergleichung einer Geraden durch P₀ mit Richtungsvektor a⃗ lautet: x⃗ = x⃗₀ + ___.
Eine Gerade wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt. Welche Einschränkung gilt für den Richtungsvektor?
Für t ≥ 0 beschreibt x⃗ = x⃗₀ + t·a⃗ einen Strahl (Halbgerade) mit Anfangspunkt P₀.
Die Strecke von P₀ nach P₁ wird parametrisch beschrieben durch x⃗ = x⃗₀ + t·(x⃗₁ − x⃗₀) mit ___ ≤ t ≤ ___.
Welche Lagebeziehungen können zwei Geraden im Raum haben?
In der Ebene können zwei Geraden windschief zueinander sein.
Die Gerade g geht durch P₀(2; 1) mit Richtungsvektor a⃗(2; 3). Berechne den Anstieg m der Geraden.
Die parameterfreie Gleichung einer Geraden in der Ebene durch P₀(2; 1) mit Anstieg m = 3/2 lautet:
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g: y = 2x − 1 und h: y = −x + 5. Gib die x-Koordinate an.
Zwei Geraden g: y = m₁x + n₁ und h: y = m₂x + n₂ sind parallel genau dann, wenn m₁ = m₂ und n₁ ≠ n₂.
Die Zweipunktegleichung einer Geraden durch P₀(x₀; y₀) und P₁(x₁; y₁) lautet: (y − y₀)/(___) = (x − x₀)/(x₁ − x₀).
Die Gerade g geht durch P₀(0; −2) und hat den Richtungsvektor a⃗(3; 2). Bei welchem Parameterwert t liegt der Punkt (6; 2) auf g?
Die allgemeine Geradengleichung in der Ebene lautet Ax + By = C, wobei A und B nicht beide 0 sein dürfen.
Zur Achse parallele Geraden in der Ebene: Eine Gerade parallel zur x-Achse hat die Gleichung y = ___.
Ein Radarstation ortet ein Ziel bei P₁(24;5;7) und P₂(21;3;6.5). Der Richtungsvektor der Flugbahn ist:
Die Gerade g: 2x − 3y = 6 schneidet die y-Achse bei y = ?.
Die Gerade g: x⃗ = (4; 6; 0) + t(−2; −3; 3) und die x-Achse sind:
Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden g: x⃗ = (1;1,5;3) + t(3;1,5;−1,5) mit der xz-Ebene (y = 0). Gib die x-Koordinate des Schnittpunkts an.
Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum parallel sind, aber die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben, sind die Geraden parallel.
Welche Gleichung ist eine parameterfreie Gleichung für die Gerade durch P₀(27; 34) und P₁(−3; −6)?
Gegeben: g: x⃗ = (2;2;3) + t(−1;0;−1) und die xy-Ebene (z = 0). Gib die x-Koordinate des Durchstoßpunkts an.
g: x⃗ = (8;12;0) + t(1;2;−4) und h: x⃗ = (4;12;0) + s(6;0;−12). Wie ist die gegenseitige Lage?