Kreisgleichung und Kugelgleichung
Die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt M(a; b) und Radius r lautet: (x − a)² + (y − b)² = ___.
Erklärung: Die Kreisgleichung in Standardform: (x − a)² + (y − b)² = r².
Bestimme den Radius des Kreises x² + y² = 25.
Erklärung: r² = 25, also r = √25 = 5.
Welche Punktmenge beschreibt (x + 3)² + (y − 5)² = 25?
Erklärung: (x − (−3))² + (y − 5)² = 5². Also M(−3; 5) und r = 5.
Bringe die Gleichung x² + y² − 8x + 10y + 5 = 0 auf Standardform. Wie groß ist der Radius r?
Erklärung: (x² − 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = −5 + 16 + 25 = 36. (x−4)² + (y+5)² = 36. r = √36 = 6.
Die Gleichung x² + y² + 4x − 2y + 6 = 0 beschreibt einen Kreis.
Erklärung: Falsch. Quadratische Ergänzung: (x+2)² + (y−1)² = 4 + 1 − 6 = −1 < 0. Kein Kreis (leere Lösungsmenge).
Die Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(a; b; c) und Radius r im Raum lautet: (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = ___.
Erklärung: Analog zur Kreisgleichung: (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r².
Bestimme den Radius der Kugel x² + y² + z² − 6x + 2y + 5 = 0. Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: Quadratische Ergänzung: (x−3)² + (y+1)² + z² = −5 + 9 + 1 = 5. M(3; −1; 0), r = √5 ≈ 2,2.
Ein Kreis k(M, r) und eine Gerade g können folgende Lagebeziehungen haben:
Erklärung: In der Ebene gibt es genau drei Möglichkeiten: Sekante, Tangente, Passante.
Bestimme die Schnittpunkte von k: x² + y² = 25 und g: y = x − 1. Gib die größere x-Koordinate an.
Erklärung: Einsetzen: x² + (x−1)² = 25 → 2x² − 2x + 1 − 25 = 0 → 2x² − 2x − 24 = 0 → x² − x − 12 = 0 → (x−4)(x+3) = 0. x = 4 oder x = −3.
Die Tangente an einen Kreis im Berührpunkt steht senkrecht auf dem Radius.
Erklärung: Richtig. In jedem Berührpunkt ist die Tangente orthogonal zum Radius (zum Verbindungsvektor Mittelpunkt-Berührpunkt).
Berechne den Abstand des Mittelpunkts M(0; 0) von der Geraden 3x + 4y = 15.
Erklärung: d = |3·0 + 4·0 − 15|/√(9+16) = 15/5 = 3.
Für den Kreis x² + y² = r² ist die Tangente im Punkt P₀(x₀; y₀) auf dem Kreis:
Erklärung: Die Tangentengleichung im Punkt P₀ am Kreis x²+y²=r² ist x₀x + y₀y = r².
Ein Kreis hat den Mittelpunkt M(2; 3) und geht durch P(5; 7). Berechne den Radius.
Erklärung: r = |MP| = √((5−2)² + (7−3)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Schneidet man die Kugel x²+y²+z² = r² mit der xy-Ebene (z = 0), erhält man den ___.
Erklärung: z = 0 einsetzen: x² + y² + 0 = r². Das ist die Kreisgleichung in der xy-Ebene.
Von einem äußeren Punkt P kann man genau zwei Tangenten an einen Kreis legen.
Erklärung: Richtig. Von jedem Punkt außerhalb des Kreises gehen genau zwei Tangenten aus.
Ist g: y = 2x + c eine Tangente an k: x² + y² = 5? Für welchen positiven Wert von c?
Erklärung: Einsetzen: x² + (2x+c)² = 5 → 5x² + 4cx + c² − 5 = 0. Tangente: Diskriminante = 0: 16c² − 4·5·(c²−5) = 0 → 16c² − 20c² + 100 = 0 → −4c² + 100 = 0 → c² = 25 → c = ±5. Positiv: c = 5.
Welche Gleichung beschreibt die Kugel mit Mittelpunkt M(0; 10; 0) und Radius 60?
Erklärung: (x−0)² + (y−10)² + (z−0)² = 60² = 3600.
Unter welchem Winkel schneiden sich die Kreise k₁: x²+y² = 25 und k₂: x²+y²−21x−14y+25 = 0 in einem Schnittpunkt? Hinweis: Berechne zunächst die Schnittpunkte. Der Winkel zwischen den Tangenten entspricht dem Winkel zwischen den Radien. Gib den Winkel in Grad gerundet auf ganze Zahlen an.
Erklärung: k₂: (x−10,5)²+(y−7)² = 110,25+49−25 = 134,25. Schnittpunkte: Subtraktion: −21x−14y+50 = 0 → 21x+14y = 50 → 3x+2y = 50/7. Die Schnittwinkelberechnung über die Radiusvektoren ergibt 90°.
Die allgemeine Kreisgleichung x² + y² + Ax + By + C = 0 beschreibt genau dann einen Kreis, wenn A²/4 + B²/4 − C ___.
Erklärung: Quadratische Ergänzung: (x+A/2)²+(y+B/2)² = A²/4+B²/4−C. Für einen Kreis muss die rechte Seite positiv sein.
Der Kreis x² + y² − 6x + 2y + 5 = 0 hat den Mittelpunkt M(a; b). Gib a an.
Erklärung: x²−6x = (x−3)²−9, y²+2y = (y+1)²−1. Also (x−3)²+(y+1)² = 5. M(3; −1), also a = 3.
Im Raum beschreibt x² + y² = r² (ohne Einschränkung an z) eine Kreisfläche.
Erklärung: Falsch. Ohne Einschränkung an z beschreibt x² + y² = r² einen Zylinder (unendlich viele Kreise übereinander).