Kreisgleichung und Kugelgleichung
Circle and Sphere Equations
Kreis und Kugel sind eine Abstandsbedingung: (x−a)² + (y−b)² = r² ist der Satz des Pythagoras für alle Punkte mit Abstand r vom Mittelpunkt (a|b) — dieselbe Idee trägt die Kugelgleichung im Raum. Aus der Gleichung lassen sich Mittelpunkt und Radius direkt ablesen, aus einer gemischten Form durch quadratische Ergänzung gewinnen. Die Lage von Kreis und Gerade entscheidet die Zahl der Lösungen beim Einsetzen: zwei Schnittpunkte (Sekante), einer (Tangente), keiner (Passante). Verbindet die analytische Geometrie mit dem Tangentenbegriff der Analysis.
Voraussetzungen (1)
Die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt M(a; b) und Radius r lautet: (x − a)² + (y − b)² = ___.
Bestimme den Radius des Kreises x² + y² = 25.
Welche Punktmenge beschreibt (x + 3)² + (y − 5)² = 25?
Die Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(a; b; c) und Radius r im Raum lautet: (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = ___.
Ein Kreis k(M, r) und eine Gerade g können folgende Lagebeziehungen haben:
Die Tangente an einen Kreis im Berührpunkt steht senkrecht auf dem Radius.
Ein Kreis hat den Mittelpunkt M(2; 3) und geht durch P(5; 7). Berechne den Radius.
Schneidet man die Kugel x²+y²+z² = r² mit der xy-Ebene (z = 0), erhält man den ___.
Von einem äußeren Punkt P kann man genau zwei Tangenten an einen Kreis legen.
Welche Gleichung beschreibt die Kugel mit Mittelpunkt M(0; 10; 0) und Radius 60?
Der Kreis x² + y² − 6x + 2y + 5 = 0 hat den Mittelpunkt M(a; b). Gib a an.
Bringe die Gleichung x² + y² − 8x + 10y + 5 = 0 auf Standardform. Wie groß ist der Radius r?
Die Gleichung x² + y² + 4x − 2y + 6 = 0 beschreibt einen Kreis.
Bestimme den Radius der Kugel x² + y² + z² − 6x + 2y + 5 = 0. Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Bestimme die Schnittpunkte von k: x² + y² = 25 und g: y = x − 1. Gib die größere x-Koordinate an.
Berechne den Abstand des Mittelpunkts M(0; 0) von der Geraden 3x + 4y = 15.
Für den Kreis x² + y² = r² ist die Tangente im Punkt P₀(x₀; y₀) auf dem Kreis:
Ist g: y = 2x + c eine Tangente an k: x² + y² = 5? Für welchen positiven Wert von c?
Die allgemeine Kreisgleichung x² + y² + Ax + By + C = 0 beschreibt genau dann einen Kreis, wenn A²/4 + B²/4 − C ___.
Im Raum beschreibt x² + y² = r² (ohne Einschränkung an z) eine Kreisfläche.
Unter welchem Winkel schneiden sich die Kreise k₁: x²+y² = 25 und k₂: x²+y²−21x−14y+25 = 0 in einem Schnittpunkt? Hinweis: Berechne zunächst die Schnittpunkte. Der Winkel zwischen den Tangenten entspricht dem Winkel zwischen den Radien. Gib den Winkel in Grad gerundet auf ganze Zahlen an.