Kumulierte Binomialverteilung — mindestens und höchstens
„Höchstens 4 Treffer" — welche Wahrscheinlichkeit ist gemeint?
Erklärung: „Höchstens 4" schließt die 4 mit ein: 0, 1, 2, 3 oder 4 Treffer, also P(X ≤ 4).
Wie berechnet man „mindestens 3 Treffer" mit der kumulierten Verteilungsfunktion?
Erklärung: Das Gegenereignis von „mindestens 3" ist „höchstens 2". Wer 1 − P(X ≤ 3) rechnet, zieht die 3 fälschlich mit ab.
Es gilt P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 3).
Erklärung: Falsch — der klassische Um-eins-verrutscht-Fehler: Rechts wird die 3 abgezogen, links gehört sie aber dazu. Richtig ist P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2).
P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ ___).
Erklärung: Das Gegenereignis von „mindestens 5" ist „höchstens 4".
„Mehr als 6 Treffer" — welche Schreibweise passt?
Erklärung: „Mehr als 6" schließt die 6 aus: erst ab 7 Treffern. Bei ganzzahligem X ist das P(X ≥ 7).
„Weniger als 2 Treffer" — welche Schreibweise passt?
Erklärung: „Weniger als 2" heißt 0 oder 1 Treffer, also P(X ≤ 1). Die 2 selbst gehört nicht dazu.
In P(X ≤ 10) ist der Fall X = 0 mit enthalten.
Erklärung: Richtig. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) summiert alle Fälle von 0 bis k auf.
Wie berechnet man P(3 ≤ X ≤ 7) mit der kumulierten Verteilungsfunktion?
Erklärung: Von „alles bis 7" wird „alles bis 2" abgezogen — übrig bleiben genau die Fälle 3 bis 7. Wer P(X ≤ 3) abzieht, verliert die 3.
Es gilt P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1).
Erklärung: Richtig. Die Einzelwahrscheinlichkeit ist die Differenz zweier benachbarter kumulierter Werte.
„Mindestens ein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 − P(X = ___).
Erklärung: Das Gegenereignis von „mindestens einer" ist „gar keiner" — oft der schnellste Rechenweg.
Eine faire Münze wird 4-mal geworfen, X zählt „Kopf". Wie groß ist P(X ≤ 1)?
Erklärung: P(X = 0) = 1/16 und P(X = 1) = 4/16, zusammen P(X ≤ 1) = 5/16.
„Mindestens ein Treffer" berechnet man am schnellsten über das Gegenereignis „kein Treffer".
Erklärung: Richtig. 1 − P(X = 0) ist ein einziger Term — die direkte Summe P(X = 1) + P(X = 2) + … wäre viel länger.
Ein Schüler rechnet bei n = 10: P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 8). Was ist der Fehler?
Erklärung: Das Gegenereignis von „X ≥ 8" ist „X ≤ 7". Bei 1 − P(X ≤ 8) würde der Fall X = 8 fälschlich mit abgezogen.
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) wird größer (oder bleibt gleich), wenn k wächst.
Erklärung: Richtig. Mit jedem größeren k kommen weitere Fälle dazu — deshalb ist die kumulative Verteilungsfunktion monoton steigend.