Kumulierte Binomialverteilung — mindestens und höchstens
Cumulative Binomial Distribution — At Least and At Most
„Höchstens k Treffer" heißt P(X ≤ k), „mindestens k" heißt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1); „mehr als" und „weniger als" verschieben die Grenze jeweils um eins. Gerechnet wird mit der kumulativen Verteilungsfunktion (Tafelwerk oder Rechner), nicht mit Einzelsummen. Der klassische, dokumentierte Fehler sitzt in der Übersetzung, nicht im Rechnen: das Off-by-one beim Komplement (P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2), nicht 1 − P(X ≤ 3)) und das Verwechseln von „genau k" mit „bis zu k". Diese Übersetzungskompetenz trägt später Umgebungswahrscheinlichkeiten um μ und den Hypothesentest.
Voraussetzungen (1)
„Höchstens 4 Treffer" — welche Wahrscheinlichkeit ist gemeint?
P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ ___).
„Mehr als 6 Treffer" — welche Schreibweise passt?
„Weniger als 2 Treffer" — welche Schreibweise passt?
In P(X ≤ 10) ist der Fall X = 0 mit enthalten.
„Mindestens ein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 − P(X = ___).
„Mindestens ein Treffer" berechnet man am schnellsten über das Gegenereignis „kein Treffer".
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) wird größer (oder bleibt gleich), wenn k wächst.
Wie berechnet man „mindestens 3 Treffer" mit der kumulierten Verteilungsfunktion?
Es gilt P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 3).
Wie berechnet man P(3 ≤ X ≤ 7) mit der kumulierten Verteilungsfunktion?
Es gilt P(X = k) = P(X ≤ k) − P(X ≤ k − 1).
Eine faire Münze wird 4-mal geworfen, X zählt „Kopf". Wie groß ist P(X ≤ 1)?
Ein Schüler rechnet bei n = 10: P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 8). Was ist der Fehler?