Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren
Was ist der Ortsvektor des Punktes P(3; 1; 2)?
Erklärung: Der Ortsvektor eines Punktes führt immer vom Ursprung zu diesem Punkt. Seine Koordinaten stimmen mit den Punktkoordinaten überein.
Der Verbindungsvektor zweier Punkte berechnet sich als AB = OB − ___ („Spitze minus Fuß").
Erklärung: AB = OB − OA: Man zieht den Ortsvektor des Anfangspunkts vom Ortsvektor des Endpunkts ab.
A(1; 2) und B(4; 7). Welche Koordinaten hat der Vektor AB?
Erklärung: AB = OB − OA = (4 − 1; 7 − 2) = (3; 5). Wer (5; 9) erhält, hat addiert statt subtrahiert.
Punkt P und sein Ortsvektor p⃗ haben dieselben Koordinaten, sind aber verschiedene Objekte.
Erklärung: Richtig. Der Punkt ist ein Ort, der Ortsvektor ein Pfeil vom Ursprung dorthin. Die Zahlen sind gleich, die Bedeutung nicht.
Ein Punkt hat eine Richtung und eine Länge.
Erklärung: Falsch. Ein Punkt hat nur einen Ort. Richtung und Länge sind Eigenschaften von Vektoren — genau darin unterscheiden sich die beiden Begriffe.
A(2; −1; 3) und AB = (1; 1; −2). Welche Koordinaten hat der Punkt B?
Erklärung: OB = OA + AB = (2 + 1; −1 + 1; 3 + (−2)) = (3; 0; 1).
Es gilt AB = −BA.
Erklärung: Richtig. Vertauscht man Anfangs- und Endpunkt, kehrt sich die Richtung um — der Vektor wechselt das Vorzeichen.
Der Ortsvektor eines Punktes hängt von der Wahl des Ursprungs ab — der Verbindungsvektor AB zweier Punkte nicht.
Erklärung: Richtig. Verschiebt man den Ursprung, ändern sich alle Ortsvektoren. AB = OB − OA bleibt gleich, weil sich die Verschiebung heraushebt.
Vom Punkt P(5; 2) aus wird um den Vektor v⃗ = (−2; 3) verschoben. Wo landet man?
Erklärung: OQ = OP + v⃗ = (5 − 2; 2 + 3) = (3; 5). Punkt plus Vektor ergibt wieder einen Punkt.
P(4; −2). Der Ortsvektor p⃗ hat die Koordinaten (4; ___).
Erklärung: Die Koordinaten des Ortsvektors sind genau die Koordinaten des Punktes.
Ein Schüler berechnet für A(1; 1) und B(3; 4) den Vektor AB = OA − OB = (−2; −3). Was ist der Fehler?
Erklärung: Merkregel „Spitze minus Fuß": Der Ortsvektor des Zielpunkts steht vorn. Sein Ergebnis ist genau der Gegenvektor BA.
Zwei verschiedene Punkte können denselben Ortsvektor haben.
Erklärung: Falsch. Der Ortsvektor legt den Punkt eindeutig fest — gleiche Ortsvektoren bedeuten denselben Punkt.
Welche Beschreibung passt zu einem Vektor — im Unterschied zu einem Punkt?
Erklärung: Ein Vektor kann an jedem Punkt abgetragen werden (Pfeilklasse); ein Punkt dagegen sitzt fest. Der Ortsvektor verbindet beide Welten.