Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

Points, Position Vectors and Connecting Vectors

Mathematik Klasse 12 13 Aufgaben
VektorenKoordinatenAnalytische GeometrieKerncurriculum

Der Ortsvektor ist die dritte Grundvorstellung zum Vektorbegriff (Malle 2005): Neben Pfeilklasse und Verschiebung ordnet er jedem Punkt P den Vektor OP vom Ursprung aus zu, und der Verbindungsvektor zweier Punkte ist AB = OB − OA („Spitze minus Fuß"). Punkt und Vektor bleiben verschieden — ein Punkt hat einen Ort, ein Vektor eine Richtung und Länge; ihre Verwechslung ist die zentrale dokumentierte Hürde der analytischen Geometrie (Henn & Filler 2015). Ohne diese Übersetzung zwischen Punktwelt und Vektorwelt bleibt die Geradengleichung x⃗ = x⃗₀ + t·a⃗ eine leere Formel.

Voraussetzungen (1)

Vektoren in Koordinaten
Klasse 12
›

Ermöglicht (1)

Geraden: Analytische Geometrie
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was ist der Ortsvektor des Punktes P(3; 1; 2)?

  • ● Der Vektor OP vom Ursprung O zum Punkt P, mit den Koordinaten (3; 1; 2).
  • ○ Ein beliebiger Vektor, der im Punkt P beginnt.
  • ○ Der Punkt P selbst.
  • ○ Der Vektor von P zum Ursprung, mit den Koordinaten (3; 1; 2).
Der Ortsvektor eines Punktes führt immer vom Ursprung zu diesem Punkt. Seine Koordinaten stimmen mit den Punktkoordinaten überein.
Lückentext #2 12s ▶ Testen

Der Verbindungsvektor zweier Punkte berechnet sich als AB = OB − ___ („Spitze minus Fuß").

✓ Antwort: OA
AB = OB − OA: Man zieht den Ortsvektor des Anfangspunkts vom Ortsvektor des Endpunkts ab.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

A(1; 2) und B(4; 7). Welche Koordinaten hat der Vektor AB?

  • ● (3; 5)
  • ○ (5; 9)
  • ○ (−3; −5)
  • ○ (4; 7)
AB = OB − OA = (4 − 1; 7 − 2) = (3; 5). Wer (5; 9) erhält, hat addiert statt subtrahiert.
Wahr / Falsch #4 12s ▶ Testen

Punkt P und sein Ortsvektor p⃗ haben dieselben Koordinaten, sind aber verschiedene Objekte.

✓ Wahr
Richtig. Der Punkt ist ein Ort, der Ortsvektor ein Pfeil vom Ursprung dorthin. Die Zahlen sind gleich, die Bedeutung nicht.
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Ein Punkt hat eine Richtung und eine Länge.

✓ Falsch
Falsch. Ein Punkt hat nur einen Ort. Richtung und Länge sind Eigenschaften von Vektoren — genau darin unterscheiden sich die beiden Begriffe.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

A(2; −1; 3) und AB = (1; 1; −2). Welche Koordinaten hat der Punkt B?

  • ● B(3; 0; 1)
  • ○ B(1; −2; 5)
  • ○ B(−1; −2; 5)
  • ○ B(2; −1; −6)
OB = OA + AB = (2 + 1; −1 + 1; 3 + (−2)) = (3; 0; 1).
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

Es gilt AB = −BA.

✓ Wahr
Richtig. Vertauscht man Anfangs- und Endpunkt, kehrt sich die Richtung um — der Vektor wechselt das Vorzeichen.
Multiple Choice #8 15s ▶ Testen

Vom Punkt P(5; 2) aus wird um den Vektor v⃗ = (−2; 3) verschoben. Wo landet man?

  • ● Q(3; 5)
  • ○ Q(7; −1)
  • ○ Q(−10; 6)
  • ○ Q(3; −1)
OQ = OP + v⃗ = (5 − 2; 2 + 3) = (3; 5). Punkt plus Vektor ergibt wieder einen Punkt.
Lückentext #9 8s ▶ Testen

P(4; −2). Der Ortsvektor p⃗ hat die Koordinaten (4; ___).

✓ Antwort: −2
Die Koordinaten des Ortsvektors sind genau die Koordinaten des Punktes.
Wahr / Falsch #10 10s ▶ Testen

Zwei verschiedene Punkte können denselben Ortsvektor haben.

✓ Falsch
Falsch. Der Ortsvektor legt den Punkt eindeutig fest — gleiche Ortsvektoren bedeuten denselben Punkt.
Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Welche Beschreibung passt zu einem Vektor — im Unterschied zu einem Punkt?

  • ● Er beschreibt eine Richtung und eine Länge, aber keinen festen Ort.
  • ○ Er beschreibt einen festen Ort im Koordinatensystem.
  • ○ Er ist immer am Ursprung angeheftet.
  • ○ Er hat keine Koordinaten.
Ein Vektor kann an jedem Punkt abgetragen werden (Pfeilklasse); ein Punkt dagegen sitzt fest. Der Ortsvektor verbindet beide Welten.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

Der Ortsvektor eines Punktes hängt von der Wahl des Ursprungs ab — der Verbindungsvektor AB zweier Punkte nicht.

✓ Wahr
Richtig. Verschiebt man den Ursprung, ändern sich alle Ortsvektoren. AB = OB − OA bleibt gleich, weil sich die Verschiebung heraushebt.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Ein Schüler berechnet für A(1; 1) und B(3; 4) den Vektor AB = OA − OB = (−2; −3). Was ist der Fehler?

  • ● Er hat Fuß minus Spitze gerechnet — richtig ist AB = OB − OA = (2; 3).
  • ○ Er hätte die Ortsvektoren addieren müssen.
  • ○ Nichts, das Ergebnis stimmt.
  • ○ Er hätte die Koordinaten vertauschen müssen.
Merkregel „Spitze minus Fuß": Der Ortsvektor des Zielpunkts steht vorn. Sein Ergebnis ist genau der Gegenvektor BA.