Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a⃗ und b⃗ ist definiert als a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos ___.
Erklärung: a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos ∠(a⃗, b⃗), wobei ∠(a⃗, b⃗) der Winkel zwischen den Vektoren ist.
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 0; 0) und b⃗(0; 6; 0).
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 4·0 + 0·6 + 0·0 = 0. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
Wann gilt a⃗ · b⃗ = 0 für a⃗ ≠ o⃗ und b⃗ ≠ o⃗?
Erklärung: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos∠ = 0. Da |a⃗| ≠ 0 und |b⃗| ≠ 0, muss cos∠ = 0, also ∠ = 90°.
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 6; 0) und b⃗(4; 6; 3).
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 4·4 + 6·6 + 0·3 = 16 + 36 + 0 = 52.
In Koordinaten gilt für Vektoren im Raum: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + ___.
Erklärung: Die Koordinatenformel des Skalarprodukts im Raum: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Berechne den Winkel ∠(a⃗, b⃗) in Grad (gerundet auf ganze Zahlen) für a⃗(1; 0) und b⃗(1; 1).
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 1·1 + 0·1 = 1. |a⃗| = 1, |b⃗| = √2. cos∠ = 1/(1·√2) = 1/√2 ≈ 0,7071. ∠ = 45°.
Für jeden Vektor a⃗ gilt: a⃗ · a⃗ = |a⃗|².
Erklärung: Richtig. a⃗ · a⃗ = |a⃗|·|a⃗|·cos(0°) = |a⃗|², da der Winkel eines Vektors mit sich selbst 0° beträgt.
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 6; 3) und b⃗(−4; −6; 3).
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 4·(−4) + 6·(−6) + 3·3 = −16 − 36 + 9 = −43.
Wenn a⃗ · b⃗ < 0, dann ist der Winkel zwischen a⃗ und b⃗:
Erklärung: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos∠. Ist das Produkt negativ, muss cos∠ < 0, also ∠ > 90°.
Im Quader O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;6;0), F(4;6;3): Berechne den Winkel ∠(OB, OF) in Grad (gerundet auf eine Dezimalstelle).
Erklärung: OB·OF = 4·4+6·6+0·3 = 52. |OB| = √52, |OF| = √61. cos∠ = 52/(√52·√61) = 52/√3172 ≈ 52/56,32 ≈ 0,9233. ∠ ≈ 22,6°.
Das Skalarprodukt ist kommutativ: a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗.
Erklärung: Richtig. a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = b₁a₁ + b₂a₂ + b₃a₃ = b⃗ · a⃗.
Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz: a⃗ · (b⃗ + c⃗) = a⃗ · b⃗ + a⃗ · ___.
Erklärung: a⃗ · (b⃗ + c⃗) = a⃗ · b⃗ + a⃗ · c⃗ (Distributivgesetz).
Sind a⃗(−3; −4; −3) und b⃗(−5; 6; 4) gegeben, berechne a⃗ · b⃗.
Erklärung: a⃗ · b⃗ = (−3)(−5) + (−4)(6) + (−3)(4) = 15 − 24 − 12 = −21.
Die mechanische Arbeit W einer Kraft F⃗ längs eines Weges s⃗ wird berechnet als:
Erklärung: W = F⃗ · s⃗ = |F⃗| · |s⃗| · cos∠(F⃗, s⃗). Nur die Komponente der Kraft in Wegrichtung verrichtet Arbeit.
Beweise, dass das Viereck A(−3;5;6), B(1;−5;7), C(8;−3;−1), D(4;7;−2) rechte Winkel hat. Berechne AB · AD.
Erklärung: AB = (4;−10;1), AD = (7;2;−8). AB · AD = 4·7 + (−10)·2 + 1·(−8) = 28 − 20 − 8 = 0. Also AB ⊥ AD.
Eine Kraft F⃗(5; 10; 15) verschiebt ihren Angriffspunkt von P₁(1; 0; 3) nach P₂(3; −1; −6). Berechne die verrichtete Arbeit W = F⃗ · s⃗ (Einheiten: N·m).
Erklärung: s⃗ = P₂ − P₁ = (2; −1; −9). W = 5·2 + 10·(−1) + 15·(−9) = 10 − 10 − 135 = −135.
Aus dem Skalarprodukt lässt sich das Additionstheorem cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β herleiten.
Erklärung: Richtig. Man wählt a⃗ = (cos α; sin α) und b⃗ = (cos β; sin β). Dann a⃗ · b⃗ = cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β).
Berechne den Schnittwinkel der Geraden g mit Richtungsvektor a⃗(2; 3) und h mit Richtungsvektor b⃗(−3; 2) in Grad.
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 2·(−3) + 3·2 = −6 + 6 = 0. Also a⃗ ⊥ b⃗, der Schnittwinkel ist 90°.
Der Schnittwinkel zweier Geraden ist stets:
Erklärung: Der Schnittwinkel zweier Geraden ist der kleinere der Winkel, also stets ≤ 90°.
Berechne die Seitenlängen und den Winkel bei A im Dreieck A(2;−5;1), B(6;−3;5), C(6;−4;9). Gib |AB| gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: AB = (4;2;4), |AB| = √(16+4+16) = √36 = 6,0.
cos ∠(a⃗, b⃗) = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) / (___)
Erklärung: cos ∠(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|).
Für welchen Wert von t ist a⃗(1; t; 2) senkrecht auf b⃗(4; −2; 1)?
Erklärung: a⃗ · b⃗ = 0: 1·4 + t·(−2) + 2·1 = 0 → 4 − 2t + 2 = 0 → 2t = 6 → t = 3.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor.
Erklärung: Falsch. Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl (ein Skalar), kein Vektor. Daher der Name.
Berechne |a⃗ + b⃗|² unter Verwendung des Skalarprodukts, wenn |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, ∠(a⃗, b⃗) = 60°.
Erklärung: |a⃗ + b⃗|² = a⃗·a⃗ + 2a⃗·b⃗ + b⃗·b⃗ = |a⃗|² + 2|a⃗||b⃗|cos60° + |b⃗|² = 9 + 2·3·4·0,5 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37.