Skalarprodukt
Dot Product
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl, kein Vektor: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Es misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen; genau dann, wenn a⃗ · b⃗ = 0 ist, stehen sie senkrecht aufeinander. Über cos φ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|) liefert es den Winkel zwischen zwei Vektoren und in der Physik die Arbeit W = F⃗ · s⃗. Anders als bei Zahlen folgt aus a⃗ · b⃗ = 0 nicht, dass einer der beiden der Nullvektor o⃗ ist.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a⃗ und b⃗ ist definiert als a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos ___.
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 0; 0) und b⃗(0; 6; 0).
Wann gilt a⃗ · b⃗ = 0 für a⃗ ≠ o⃗ und b⃗ ≠ o⃗?
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 6; 0) und b⃗(4; 6; 3).
In Koordinaten gilt für Vektoren im Raum: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + ___.
Berechne den Winkel ∠(a⃗, b⃗) in Grad (gerundet auf ganze Zahlen) für a⃗(1; 0) und b⃗(1; 1).
Für jeden Vektor a⃗ gilt: a⃗ · a⃗ = |a⃗|².
Berechne a⃗ · b⃗ für a⃗(4; 6; 3) und b⃗(−4; −6; 3).
Wenn a⃗ · b⃗ < 0, dann ist der Winkel zwischen a⃗ und b⃗:
Das Skalarprodukt ist kommutativ: a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗.
Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz: a⃗ · (b⃗ + c⃗) = a⃗ · b⃗ + a⃗ · ___.
Sind a⃗(−3; −4; −3) und b⃗(−5; 6; 4) gegeben, berechne a⃗ · b⃗.
Die mechanische Arbeit W einer Kraft F⃗ längs eines Weges s⃗ wird berechnet als:
Berechne den Schnittwinkel der Geraden g mit Richtungsvektor a⃗(2; 3) und h mit Richtungsvektor b⃗(−3; 2) in Grad.
Der Schnittwinkel zweier Geraden ist stets:
cos ∠(a⃗, b⃗) = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) / (___)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor.
Im Quader O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;6;0), F(4;6;3): Berechne den Winkel ∠(OB, OF) in Grad (gerundet auf eine Dezimalstelle).
Beweise, dass das Viereck A(−3;5;6), B(1;−5;7), C(8;−3;−1), D(4;7;−2) rechte Winkel hat. Berechne AB · AD.
Eine Kraft F⃗(5; 10; 15) verschiebt ihren Angriffspunkt von P₁(1; 0; 3) nach P₂(3; −1; −6). Berechne die verrichtete Arbeit W = F⃗ · s⃗ (Einheiten: N·m).
Aus dem Skalarprodukt lässt sich das Additionstheorem cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β herleiten.
Berechne die Seitenlängen und den Winkel bei A im Dreieck A(2;−5;1), B(6;−3;5), C(6;−4;9). Gib |AB| gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Für welchen Wert von t ist a⃗(1; t; 2) senkrecht auf b⃗(4; −2; 1)?
Berechne |a⃗ + b⃗|² unter Verwendung des Skalarprodukts, wenn |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, ∠(a⃗, b⃗) = 60°.