Vektoren: Grundlagen
Ein Vektor ist ein einzelner Pfeil (gerichtete Strecke).
Erklärung: Falsch. Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile, die gleich gerichtet und gleich lang sind (eine Pfeilklasse). Ein einzelner Pfeil ist nur ein Repräsentant des Vektors.
Zwei Pfeile AB und CD gehören zum selben Vektor genau dann, wenn:
Erklärung: Drei Bedingungen müssen erfüllt sein: (1) Parallelität, (2) gleiche Richtung, (3) gleiche Länge.
Der Betrag eines Vektors a⃗ wird mit ___ bezeichnet und gibt die Länge seiner Repräsentanten an.
Erklärung: Der Betrag |a⃗| ist die Länge jedes Pfeils, der zum Vektor a⃗ gehört.
Der Nullvektor o⃗ hat unendlich viele Richtungen.
Erklärung: Richtig. Der Nullvektor hat den Betrag 0. Für ihn ist keine bestimmte Richtung definiert, man sagt, er habe jede Richtung.
Im regelmäßigen Sechseck ABCDEF: Für welches Pfeilpaar gilt ↑↓ (entgegengesetzt gerichtet)?
Erklärung: Gegenüberliegende Seiten des regelmäßigen Sechsecks sind parallel und gleich lang. ED zeigt in dieselbe Richtung wie AB (↑↑), DE läuft dieselbe Seite in Gegenrichtung – also AB ↑↓ DE. CD ist nicht parallel zu AB, also weder gleich noch entgegengesetzt gerichtet.
Wenn a⃗ = −b⃗, dann gilt |a⃗| = |b⃗| und a⃗ ↑↓ b⃗.
Erklärung: Richtig. Der Gegenvektor −b⃗ hat denselben Betrag wie b⃗, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
In einem Quader ABCDEFGH: Welche Pfeile gehören zum selben Vektor wie AB?
Erklärung: Im Quader sind die Kanten AB, DC, EF, HG paarweise parallel, gleich gerichtet und gleich lang. Sie gehören zum selben Vektor.
Zwei Vektoren a⃗ und b⃗ heißen parallel (a⃗ ∥ b⃗), wenn sie entweder ___ oder entgegengesetzt gerichtet sind.
Erklärung: Parallelität bedeutet: gleich gerichtet (a⃗ ↑↑ b⃗) oder entgegengesetzt gerichtet (a⃗ ↑↓ b⃗).
Im gleichseitigen Dreieck ABC mit Seitenlänge a gibt es genau 6 verschiedene Vektoren, deren Repräsentanten die Seiten des Dreiecks sind.
Erklärung: Richtig. Die 6 Vektoren sind: AB, BC, CA und ihre Gegenvektoren BA, CB, AC. Da kein Seitenpaar parallel ist, sind alle verschieden.
Eine Verschiebung der Ebene bildet jeden Punkt P auf P' ab. Welche Eigenschaft gilt NICHT?
Erklärung: Bei einer Verschiebung sind alle Strecken PP' kongruent (gleich lang), parallel und gleich gerichtet.
Vektoren im Raum werden genauso definiert wie in der Ebene: als Mengen gleich gerichteter und gleich langer Pfeile.
Erklärung: Richtig. Auch im Raum fasst man alle Pfeile, die gleich gerichtet und gleich lang sind, zu einer Pfeilklasse (einem Vektor) zusammen.
Im Parallelogramm ABCD gilt:
Erklärung: Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel, gleich gerichtet und gleich lang, also AB = DC und AD = BC.
Der zu a⃗ entgegengesetzte Vektor heißt ___ und wird mit −a⃗ bezeichnet.
Erklärung: Der Gegenvektor −a⃗ hat denselben Betrag wie a⃗, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
Wenn |a⃗| = |b⃗|, dann ist a⃗ = b⃗.
Erklärung: Falsch. Gleicher Betrag bedeutet nur gleiche Länge. Die Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben.
Wie viele verschiedene Vektoren kann man mit den 4 Eckpunkten eines Quadrats angeben?
Erklärung: Aus 4 Punkten gibt es 4·3 = 12 geordnete Paare, also 12 verschiedene Pfeile. Manche gehören zum selben Vektor: AB = DC und AD = BC und deren Gegenvektoren. Es bleiben 4 Seitenvektoren + 2 Diagonalvektoren + deren 6 Gegenvektoren, insgesamt 12 verschiedene Pfeile, aber nur 6 verschiedene Vektoren... Tatsächlich sind es: 4 Seitenvektoren (AB, BC, CD, DA), aber AB = DC, also nur 2 Seitenvektortypen + 2 Gegenvektoren = 4; plus 2 Diagonalvektoren + 2 Gegenvektoren = 4; insgesamt 8 verschiedene Vektoren. Nein: Im Quadrat ABCD gibt es 12 Pfeile. AB = DC, BC = AD, also bleiben tatsächlich 12 Pfeile aber einige sind gleich. Seitenvektoren: AB = DC (1), BC = AD (2), BA = CD (3), CB = DA (4). Diagonalen: AC (5), BD (6), CA (7), DB (8). Restliche: Keine weiteren. Also 8 verschiedene Vektoren.
In einem Würfel mit 8 Ecken gibt es genau 3 verschiedene Kantenvektoren (ohne Gegenvektoren).
Erklärung: Richtig. Ein Würfel hat 12 Kanten, die in 3 Gruppen zu je 4 parallelen, gleich gerichteten, gleich langen Kanten fallen. Jede Gruppe liefert einen Vektor.
Jede Verschiebung der Ebene kann durch einen einzigen ___ angegeben werden.
Erklärung: Ein Verschiebungspfeil PP' bestimmt die Verschiebung eindeutig: Richtung, Richtungssinn und Verschiebungsweite sind festgelegt.
Welche Aussage über den Nullvektor o⃗ ist korrekt?
Erklärung: Der Nullvektor wird durch Pfeile PP repräsentiert (Anfangs- = Endpunkt). Er hat Betrag 0 und entspricht der identischen Verschiebung.
Wenn zwei Vektoren a⃗ und b⃗ nicht parallel sind (a⃗ ∦ b⃗), dann können sie niemals gleich sein.
Erklärung: Richtig. Gleiche Vektoren sind insbesondere parallel (sogar gleich gerichtet). Also folgt aus a⃗ = b⃗ stets a⃗ ∥ b⃗.
Im Quadrat ABCD mit Seitenlänge 5 cm: Wie lang ist der Betrag des Vektors AC (Diagonale) in cm? Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: |AC| = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 ≈ 7,1 cm.