Vektoren: Grundlagen

Vectors: Fundamentals

Mathematik Klasse 12 20 Aufgaben
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Ein Vektor ist durch zwei Grundvorstellungen bestimmt (Malle 2005), noch vor jedem Rechnen in Koordinaten: die Pfeilklasse (alle gleich langen, gleichgerichteten Pfeile stehen für denselben Vektor) und die Verschiebung (ein Vektor beschreibt, wie jeder Punkt der Ebene oder des Raums verschoben wird). Dazu kommen Betrag, Gegenvektor, Nullvektor und Parallelität an Figuren wie Quader und Parallelogramm. Das räumt das Fehlbild „ein Vektor ist ein einzelner Pfeil" aus und den Schluss von gleichem Betrag auf gleichen Vektor. Die dritte Grundvorstellung — der Ortsvektor — folgt nach der Koordinatendarstellung.

Ermöglicht (1)

Vektoroperationen
Klasse 12
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Leicht
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

Ein Vektor ist ein einzelner Pfeil (gerichtete Strecke).

✓ Falsch
Falsch. Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile, die gleich gerichtet und gleich lang sind (eine Pfeilklasse). Ein einzelner Pfeil ist nur ein Repräsentant des Vektors.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Zwei Pfeile AB und CD gehören zum selben Vektor genau dann, wenn:

  • ● AB ∥ CD, gleich gerichtet und gleich lang
  • ○ AB und CD gleich lang sind
  • ○ AB und CD parallel sind
  • ○ AB und CD den gleichen Anfangspunkt haben
Drei Bedingungen müssen erfüllt sein: (1) Parallelität, (2) gleiche Richtung, (3) gleiche Länge.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Der Betrag eines Vektors a⃗ wird mit ___ bezeichnet und gibt die Länge seiner Repräsentanten an.

✓ Antwort: |a⃗|
Der Betrag |a⃗| ist die Länge jedes Pfeils, der zum Vektor a⃗ gehört.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Nullvektor o⃗ hat unendlich viele Richtungen.

✓ Wahr
Richtig. Der Nullvektor hat den Betrag 0. Für ihn ist keine bestimmte Richtung definiert, man sagt, er habe jede Richtung.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Im regelmäßigen Sechseck ABCDEF: Für welches Pfeilpaar gilt ↑↓ (entgegengesetzt gerichtet)?

  • ○ AB und ED
  • ○ AB und CD
  • ● AB und DE
Gegenüberliegende Seiten des regelmäßigen Sechsecks sind parallel und gleich lang. ED zeigt in dieselbe Richtung wie AB (↑↑), DE läuft dieselbe Seite in Gegenrichtung – also AB ↑↓ DE. CD ist nicht parallel zu AB, also weder gleich noch entgegengesetzt gerichtet.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Wenn a⃗ = −b⃗, dann gilt |a⃗| = |b⃗| und a⃗ ↑↓ b⃗.

✓ Wahr
Richtig. Der Gegenvektor −b⃗ hat denselben Betrag wie b⃗, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
Lückentext #7 10s ▶ Testen

Zwei Vektoren a⃗ und b⃗ heißen parallel (a⃗ ∥ b⃗), wenn sie entweder ___ oder entgegengesetzt gerichtet sind.

✓ Antwort: gleich gerichtet
Parallelität bedeutet: gleich gerichtet (a⃗ ↑↑ b⃗) oder entgegengesetzt gerichtet (a⃗ ↑↓ b⃗).
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Eine Verschiebung der Ebene bildet jeden Punkt P auf P' ab. Welche Eigenschaft gilt NICHT?

  • ● Alle Strecken PP' haben verschiedene Längen
  • ○ Alle Geraden PP' sind paarweise parallel
  • ○ Alle Strahlen PP' sind gleich gerichtet
  • ○ Alle Strecken PP' sind kongruent
Bei einer Verschiebung sind alle Strecken PP' kongruent (gleich lang), parallel und gleich gerichtet.
Wahr / Falsch #9 10s ▶ Testen

Vektoren im Raum werden genauso definiert wie in der Ebene: als Mengen gleich gerichteter und gleich langer Pfeile.

✓ Wahr
Richtig. Auch im Raum fasst man alle Pfeile, die gleich gerichtet und gleich lang sind, zu einer Pfeilklasse (einem Vektor) zusammen.
Lückentext #10 10s ▶ Testen

Der zu a⃗ entgegengesetzte Vektor heißt ___ und wird mit −a⃗ bezeichnet.

✓ Antwort: Gegenvektor
Der Gegenvektor −a⃗ hat denselben Betrag wie a⃗, ist aber entgegengesetzt gerichtet.
Wahr / Falsch #11 10s ▶ Testen

Wenn |a⃗| = |b⃗|, dann ist a⃗ = b⃗.

✓ Falsch
Falsch. Gleicher Betrag bedeutet nur gleiche Länge. Die Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben.
Lückentext #12 10s ▶ Testen

Jede Verschiebung der Ebene kann durch einen einzigen ___ angegeben werden.

✓ Antwort: Pfeil
Ein Verschiebungspfeil PP' bestimmt die Verschiebung eindeutig: Richtung, Richtungssinn und Verschiebungsweite sind festgelegt.
Multiple Choice #13 15s ▶ Testen

Welche Aussage über den Nullvektor o⃗ ist korrekt?

  • ● o⃗ ist der Vektor mit Betrag 0, dargestellt durch Pfeile PP mit gleichem Anfangs- und Endpunkt
  • ○ o⃗ existiert nicht, weil ein Pfeil eine Länge > 0 haben muss
  • ○ o⃗ hat den Betrag 1
  • ○ o⃗ ist nur in der Ebene definiert, nicht im Raum
Der Nullvektor wird durch Pfeile PP repräsentiert (Anfangs- = Endpunkt). Er hat Betrag 0 und entspricht der identischen Verschiebung.
Zahleneingabe #14 20s ▶ Testen

Im Quadrat ABCD mit Seitenlänge 5 cm: Wie lang ist der Betrag des Vektors AC (Diagonale) in cm? Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.

✓ Antwort: 7.1
|AC| = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 ≈ 7,1 cm.
Mittel
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

In einem Quader ABCDEFGH: Welche Pfeile gehören zum selben Vektor wie AB?

  • ● DC, EF, HG
  • ○ BA, CD, FE
  • ○ AD, EH, BC
  • ○ AE, BF, CG
Im Quader sind die Kanten AB, DC, EF, HG paarweise parallel, gleich gerichtet und gleich lang. Sie gehören zum selben Vektor.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Im gleichseitigen Dreieck ABC mit Seitenlänge a gibt es genau 6 verschiedene Vektoren, deren Repräsentanten die Seiten des Dreiecks sind.

✓ Wahr
Richtig. Die 6 Vektoren sind: AB, BC, CA und ihre Gegenvektoren BA, CB, AC. Da kein Seitenpaar parallel ist, sind alle verschieden.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Parallelogramm ABCD gilt:

  • ● AB = DC und AD = BC
  • ○ AB = CD und AD = CB
  • ○ AB = −DC und AD = −BC
  • ○ AB = BA und CD = DC
Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel, gleich gerichtet und gleich lang, also AB = DC und AD = BC.
Wahr / Falsch #4 30s ▶ Testen

In einem Würfel mit 8 Ecken gibt es genau 3 verschiedene Kantenvektoren (ohne Gegenvektoren).

✓ Wahr
Richtig. Ein Würfel hat 12 Kanten, die in 3 Gruppen zu je 4 parallelen, gleich gerichteten, gleich langen Kanten fallen. Jede Gruppe liefert einen Vektor.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Wenn zwei Vektoren a⃗ und b⃗ nicht parallel sind (a⃗ ∦ b⃗), dann können sie niemals gleich sein.

✓ Wahr
Richtig. Gleiche Vektoren sind insbesondere parallel (sogar gleich gerichtet). Also folgt aus a⃗ = b⃗ stets a⃗ ∥ b⃗.
Schwer
Multiple Choice #1 40s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Vektoren kann man mit den 4 Eckpunkten eines Quadrats angeben?

  • ● 12
  • ○ 8
  • ○ 6
  • ○ 16
Aus 4 Punkten gibt es 4·3 = 12 geordnete Paare, also 12 verschiedene Pfeile. Manche gehören zum selben Vektor: AB = DC und AD = BC und deren Gegenvektoren. Es bleiben 4 Seitenvektoren + 2 Diagonalvektoren + deren 6 Gegenvektoren, insgesamt 12 verschiedene Pfeile, aber nur 6 verschiedene Vektoren... Tatsächlich sind es: 4 Seitenvektoren (AB, BC, CD, DA), aber AB = DC, also nur 2 Seitenvektortypen + 2 Gegenvektoren = 4; plus 2 Diagonalvektoren + 2 Gegenvektoren = 4; insgesamt 8 verschiedene Vektoren. Nein: Im Quadrat ABCD gibt es 12 Pfeile. AB = DC, BC = AD, also bleiben tatsächlich 12 Pfeile aber einige sind gleich. Seitenvektoren: AB = DC (1), BC = AD (2), BA = CD (3), CB = DA (4). Diagonalen: AC (5), BD (6), CA (7), DB (8). Restliche: Keine weiteren. Also 8 verschiedene Vektoren.