Vektoren in Koordinaten
Was ist eine Orthonormalbasis {i⃗, j⃗} der Ebene?
Erklärung: Orthonormal = orthogonal (senkrecht) + normiert (Betrag 1). {i⃗, j⃗} mit i⃗ ⊥ j⃗ und |i⃗| = |j⃗| = 1.
Der Vektor a⃗(3; −2) in Koordinatendarstellung bedeutet a⃗ = 3i⃗ + (___) j⃗.
Erklärung: a⃗(3; −2) = 3i⃗ + (−2)j⃗ = 3i⃗ − 2j⃗.
Berechne den Betrag des Vektors a⃗(3; 4).
Erklärung: |a⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Berechne den Betrag des Vektors v⃗(2; −1; 2).
Erklärung: |v⃗| = √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
Wenn a⃗(a₁; a₂) und b⃗(b₁; b₂), dann ist a⃗ + b⃗ = (___ ; ___).
Erklärung: Vektoren werden komponentenweise addiert: (a₁ + b₁; a₂ + b₂).
Gegeben: a⃗(3; 2), b⃗(−1; 1). Welche Koordinaten hat 2a⃗ − 3b⃗?
Erklärung: 2a⃗ = (6; 4), 3b⃗ = (−3; 3). 2a⃗ − 3b⃗ = (6−(−3); 4−3) = (9; 1).
Berechne den Abstand der Punkte A(1; 3) und B(−5; 2). Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: AB = √((−5−1)² + (2−3)²) = √(36 + 1) = √37 ≈ 6,08 ≈ 6,1.
Zwei Vektoren a⃗(a₁; a₂) und b⃗(b₁; b₂) sind parallel genau dann, wenn b₁ = r·a₁ und b₂ = r·a₂ für eine reelle Zahl r ≠ 0.
Erklärung: Richtig. a⃗ ∥ b⃗ genau dann, wenn b⃗ = r·a⃗ für ein r ≠ 0, also b₁ = r·a₁ und b₂ = r·a₂.
Berechne den Abstand der Punkte P(3; 0; 0) und Q(0; 3; 0) im Raum. Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: PQ = √((0−3)² + (3−0)² + (0−0)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2 ≈ 4,24 ≈ 4,2.
Der Einheitsvektor a⃗₀ in Richtung a⃗(6; 8) hat die Koordinaten:
Erklärung: |a⃗| = √(36+64) = 10. a⃗₀ = a⃗/|a⃗| = (6/10; 8/10) = (0,6; 0,8).
Im Raum bilden drei nicht komplanare Vektoren a⃗, b⃗, c⃗ eine ___.
Erklärung: Drei nicht komplanare (nicht in einer Ebene liegende) Vektoren bilden eine Basis des Raumes. Jeder Raumvektor kann als Linearkombination dargestellt werden.
Gegeben: a⃗(−3; 6), b⃗(2; 8), c⃗(−4; −4). Berechne die x-Koordinate von x⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.
Erklärung: x-Koordinate: −3 + 2 + (−4) = −5.
Die Basisvektoren i⃗, j⃗, k⃗ des kartesischen Koordinatensystems im Raum sind paarweise orthogonal und haben jeweils den Betrag 1.
Erklärung: Richtig. {i⃗, j⃗, k⃗} ist eine Orthonormalbasis: i⃗ ⊥ j⃗, i⃗ ⊥ k⃗, j⃗ ⊥ k⃗ und |i⃗| = |j⃗| = |k⃗| = 1.
Zeige, dass das Dreieck A(3; −1; 6), B(0; −4; 2), C(3; 2; 1) gleichschenklig ist. Berechne |AB|. Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: AB = √((0−3)² + (−4+1)² + (2−6)²) = √(9+9+16) = √34 ≈ 5,83 ≈ 5,8.
Ein Vektor heißt Linearkombination von a⃗₁, a⃗₂, ..., a⃗ₙ, wenn er in der Form:
Erklärung: Eine Linearkombination ist eine Summe aus skalar multiplizierten Vektoren mit beliebigen reellen Koeffizienten r₁, r₂, ..., rₙ.
Berechne die Länge der Raumdiagonale eines Quaders mit den Kantenlängen 4, 6 und 3.
Erklärung: Raumdiagonale = √(4² + 6² + 3²) = √(16 + 36 + 9) = √61 ≈ 7,81 ≈ 7,8.
Die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke A(x₁; y₁) und B(x₂; y₂) sind M = (___; ___).
Erklärung: Der Mittelpunkt hat die Koordinaten M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2).
Gegeben: A(4; 0; 0), B(4; 6; 0), D(0; 0; 3) als Eckpunkte eines Quaders. Berechne den Abstand OB (O = Ursprung). Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.
Erklärung: OB = √(4² + 6² + 0²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13 ≈ 7,21 ≈ 7,2.
Jeder Vektor des Raumes kann nach einer Orthonormalbasis {i⃗, j⃗, k⃗} eindeutig in Koordinaten zerlegt werden.
Erklärung: Richtig. Nach dem Zerlegungssatz kann jeder Vektor p⃗ eindeutig als p⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ geschrieben werden.
Für welchen Wert von t sind die Vektoren a⃗(2; t) und b⃗(6; 9) parallel?
Erklärung: a⃗ ∥ b⃗ ⟺ b⃗ = r·a⃗: 6 = 2r → r = 3; 9 = t·3 → t = 3.
Berechne den Einheitsvektor in Richtung a⃗(3; 4; 12): Welchen Betrag hat a⃗?
Erklärung: |a⃗| = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Der Einheitsvektor ist a⃗₀ = (3/13; 4/13; 12/13).