Vektoren in Koordinaten
Vectors in Coordinates
Bezüglich einer Orthonormalbasis wird jeder Vektor zu einem Zahlentripel, und die geometrischen Operationen werden zu Rechenoperationen an den Koordinaten: Addition und Vervielfachung geschehen koordinatenweise, der Betrag folgt aus dem Satz des Pythagoras — in der Ebene |a| = √(a₁² + a₂²), im Raum √(a₁² + a₂² + a₃²) —, und der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors. Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist; ein Einheitsvektor entsteht durch Teilen durch den Betrag. Der Vektor hat dabei eine Doppelnatur — geometrisches Objekt und Zahlentripel zugleich —, und nur der ständige Wechsel zwischen beiden Sichtweisen bewahrt die Vektorgeometrie davor, zum „Buchstabenrechnen" zu verkommen (Malle 2005).
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (3)
Was ist eine Orthonormalbasis {i⃗, j⃗} der Ebene?
Der Vektor a⃗(3; −2) in Koordinatendarstellung bedeutet a⃗ = 3i⃗ + (___) j⃗.
Berechne den Betrag des Vektors a⃗(3; 4).
Berechne den Betrag des Vektors v⃗(2; −1; 2).
Wenn a⃗(a₁; a₂) und b⃗(b₁; b₂), dann ist a⃗ + b⃗ = (___ ; ___).
Gegeben: a⃗(3; 2), b⃗(−1; 1). Welche Koordinaten hat 2a⃗ − 3b⃗?
Berechne den Abstand der Punkte A(1; 3) und B(−5; 2). Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Berechne den Abstand der Punkte P(3; 0; 0) und Q(0; 3; 0) im Raum. Gib den Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.
Der Einheitsvektor a⃗₀ in Richtung a⃗(6; 8) hat die Koordinaten:
Im Raum bilden drei nicht komplanare Vektoren a⃗, b⃗, c⃗ eine ___.
Gegeben: a⃗(−3; 6), b⃗(2; 8), c⃗(−4; −4). Berechne die x-Koordinate von x⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.
Die Basisvektoren i⃗, j⃗, k⃗ des kartesischen Koordinatensystems im Raum sind paarweise orthogonal und haben jeweils den Betrag 1.
Ein Vektor heißt Linearkombination von a⃗₁, a⃗₂, ..., a⃗ₙ, wenn er in der Form:
Die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke A(x₁; y₁) und B(x₂; y₂) sind M = (___; ___).
Jeder Vektor des Raumes kann nach einer Orthonormalbasis {i⃗, j⃗, k⃗} eindeutig in Koordinaten zerlegt werden.
Zwei Vektoren a⃗(a₁; a₂) und b⃗(b₁; b₂) sind parallel genau dann, wenn b₁ = r·a₁ und b₂ = r·a₂ für eine reelle Zahl r ≠ 0.
Zeige, dass das Dreieck A(3; −1; 6), B(0; −4; 2), C(3; 2; 1) gleichschenklig ist. Berechne |AB|. Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.
Berechne die Länge der Raumdiagonale eines Quaders mit den Kantenlängen 4, 6 und 3.
Gegeben: A(4; 0; 0), B(4; 6; 0), D(0; 0; 3) als Eckpunkte eines Quaders. Berechne den Abstand OB (O = Ursprung). Gib den gerundeten Wert auf eine Dezimalstelle an.
Für welchen Wert von t sind die Vektoren a⃗(2; t) und b⃗(6; 9) parallel?
Berechne den Einheitsvektor in Richtung a⃗(3; 4; 12): Welchen Betrag hat a⃗?