Die Summe zweier Vektoren a⃗ + b⃗ wird konstruiert, indem man:

Erklärung: Die Dreiecksmethode (Aneinanderreihen) und die Parallelogrammregel liefern dasselbe Ergebnis.

Für alle Vektoren a⃗ und b⃗ gilt: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ (Kommutativgesetz).

Erklärung: Richtig. Die Vektoraddition ist kommutativ. Das folgt aus der Parallelogrammkonstruktion.

Für jeden Vektor a⃗ gilt: a⃗ + (−a⃗) = ___.

Erklärung: Die Summe eines Vektors mit seinem Gegenvektor ergibt den Nullvektor: a⃗ + (−a⃗) = o⃗.

Was bedeutet 3a⃗ geometrisch?

Erklärung: Bei Multiplikation mit r > 0 bleibt die Richtung erhalten, der Betrag wird mit |r| multipliziert: |3a⃗| = 3|a⃗|.

Für r < 0 und a⃗ ≠ o⃗ ist r·a⃗ entgegengesetzt gerichtet zu a⃗.

Erklärung: Richtig. Ist r negativ, kehrt sich die Richtung um: r·a⃗ ↑↓ a⃗.

Die Subtraktion a⃗ − b⃗ ist definiert als a⃗ + ___.

Erklärung: Subtraktion = Addition des Gegenvektors: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗).

Zwei Kräfte F₁ = 300 N und F₂ = 400 N greifen an einem Punkt unter 90° an. Wie groß ist die resultierende Kraft |F|?

Erklärung: |F| = √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) = √250000 = 500 N.

Für das Distributivgesetz gilt: r·(a⃗ + b⃗) = r·a⃗ + r·b⃗.

Erklärung: Richtig. Das 2. Distributivgesetz besagt, dass skalare Multiplikation über Vektoraddition verteilt werden darf.

Zwei Kräfte |F₁| = 270 N und |F₂| = 110 N wirken unter einem Winkel von 55°. Berechne den Betrag der Resultierenden |F| (auf ganze Zahlen gerundet).

Erklärung: |F|² = |F₁|² + |F₂|² + 2|F₁||F₂|cos(55°) = 270² + 110² + 2·270·110·cos(55°) = 72900 + 12100 + 59400·0,5736 ≈ 72900 + 12100 + 34070 = 119070. |F| ≈ √119070 ≈ 345,07, gerundet 345 N.

Im Parallelogramm ABCD mit a⃗ = AB und b⃗ = AD gilt: AC = ___.

Erklärung: Die Diagonale AC des Parallelogramms ist die Summe der beiden anliegenden Seitenvektoren: AC = AB + BC = AB + AD = a⃗ + b⃗.

Die Gleichung x⃗·a⃗ = b⃗ (mit x als reelle Zahl) ist stets lösbar, wenn a⃗ ≠ o⃗.

Erklärung: Falsch. Die Gleichung x·a⃗ = b⃗ ist nur lösbar, wenn a⃗ ∥ b⃗ oder b⃗ = o⃗. Wenn a⃗ und b⃗ nicht parallel sind, gibt es kein x.

Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks ABCD bilden stets:

Erklärung: Beweis mit Vektoren: EF = ½DB = HG, also ist EFGH ein Parallelogramm. Dies gilt für jedes Viereck.

Vereinfache: |2a⃗ − 3a⃗| = ? · |a⃗|. Gib den Faktor an.

Erklärung: 2a⃗ − 3a⃗ = (2−3)a⃗ = −1·a⃗ = −a⃗. Betrag: |−a⃗| = |a⃗|. Also Faktor = 1.

Für die Vektorgleichung a⃗ + x⃗ = b⃗ ist die eindeutige Lösung x⃗ = ___.

Erklärung: Subtraktion von a⃗ auf beiden Seiten: x⃗ = b⃗ − a⃗ = b⃗ + (−a⃗).

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten ist parallel zur dritten Seite und halb so lang.

Erklärung: Richtig. Beweis: Sind D, F die Mittelpunkte von AC und BC, so ist DF = ½·AB. Daraus folgt DF ∥ AB und |DF| = ½|AB|.

Auf einer geneigten Ebene (Neigungswinkel α) wirkt eine Gewichtskraft F⃗G senkrecht nach unten. Die Hangabtriebskraft (parallel zur Ebene) hat den Betrag:

Erklärung: Die Komponente der Gewichtskraft parallel zur Ebene (Hangabtrieb) beträgt |F⃗G|·sin α.

Vereinfache den Ausdruck: a⃗ + 3b⃗ − (2a⃗ − b⃗) + ½(a⃗ − b⃗). Welcher Koeffizient steht vor b⃗?

Erklärung: a⃗ + 3b⃗ − 2a⃗ + b⃗ + ½a⃗ − ½b⃗ = (1 − 2 + ½)a⃗ + (3 + 1 − ½)b⃗ = −½a⃗ + 3,5b⃗. Koeffizient vor b⃗: 3,5.

Das Assoziativgesetz (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗) gilt für Vektoren.

Erklärung: Richtig. Die Vektoraddition ist assoziativ. Man kann Klammern beliebig setzen.

M sei der Mittelpunkt der Strecke AB. Dann gilt: OM = ½(OA + ___) für jeden Punkt O.

Erklärung: OM = OA + AM = OA + ½AB = OA + ½(OB − OA) = ½(OA + OB).

Im Würfel ABCDEFGH mit a⃗ = AB, b⃗ = AD, c⃗ = AE. Wie lautet der Vektor AG?

Erklärung: AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE = a⃗ + b⃗ + c⃗ (Raumdiagonale des Würfels).

Wie groß ist |a⃗ + b⃗|, wenn |a⃗| = 5, |b⃗| = 5 und der Winkel zwischen a⃗ und b⃗ genau 60° beträgt? Gib den exakten Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.

Erklärung: |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2|a⃗||b⃗|cos60° = 25 + 25 + 2·5·5·0,5 = 75. |a⃗ + b⃗| = √75 = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 8,7.

Aufgabe 1 von 21