Vektoroperationen

Vector Operations

Mathematik Klasse 12 21 Aufgaben
VektorenOperationenAdditionSkalare MultiplikationKerncurriculum

Vektoren werden addiert, subtrahiert und mit einem Skalar vervielfacht — geometrisch durch Aneinanderhängen von Pfeilen (Parallelogrammregel), Strecken und Umkehren, in Koordinaten komponentenweise: (1|2) + (3|1) = (4|3) und 2·(1|2) = (2|4). Dahinter steht die Verschiebungsvorstellung — erst nach rechts, dann nach oben ist zusammen eine Verschiebung. Mit geschlossenen Vektorzügen, deren Summe der Nullvektor ist, lassen sich erste geometrische Beweise führen, etwa über Mittelpunkte und Diagonalen im Parallelogramm. Grundlage für Koordinatenrechnung und Geradengleichungen.

Voraussetzungen (1)

Vektoren: Grundlagen
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Die Summe zweier Vektoren a⃗ + b⃗ wird konstruiert, indem man:

  • ○ b⃗ an die Spitze von a⃗ anträgt und den Pfeil vom Anfang von a⃗ zur Spitze von b⃗ zeichnet
  • ○ beide Vektoren am gleichen Punkt beginnen lässt und die Diagonale nimmt
  • ● Beide Methoden sind korrekt
  • ○ die Beträge addiert
Die Dreiecksmethode (Aneinanderreihen) und die Parallelogrammregel liefern dasselbe Ergebnis.
Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

Für alle Vektoren a⃗ und b⃗ gilt: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ (Kommutativgesetz).

✓ Wahr
Richtig. Die Vektoraddition ist kommutativ. Das folgt aus der Parallelogrammkonstruktion.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Für jeden Vektor a⃗ gilt: a⃗ + (−a⃗) = ___.

✓ Antwort: o⃗
Die Summe eines Vektors mit seinem Gegenvektor ergibt den Nullvektor: a⃗ + (−a⃗) = o⃗.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Was bedeutet 3a⃗ geometrisch?

  • ● Ein Vektor mit dreifacher Länge und gleicher Richtung wie a⃗
  • ○ Ein Vektor mit Länge |a⃗|/3
  • ○ Drei verschiedene Vektoren
  • ○ Ein Vektor senkrecht zu a⃗
Bei Multiplikation mit r > 0 bleibt die Richtung erhalten, der Betrag wird mit |r| multipliziert: |3a⃗| = 3|a⃗|.
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Für r < 0 und a⃗ ≠ o⃗ ist r·a⃗ entgegengesetzt gerichtet zu a⃗.

✓ Wahr
Richtig. Ist r negativ, kehrt sich die Richtung um: r·a⃗ ↑↓ a⃗.
Lückentext #6 10s ▶ Testen

Die Subtraktion a⃗ − b⃗ ist definiert als a⃗ + ___.

✓ Antwort: (−b⃗)
Subtraktion = Addition des Gegenvektors: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗).
Wahr / Falsch #7 10s ▶ Testen

Für das Distributivgesetz gilt: r·(a⃗ + b⃗) = r·a⃗ + r·b⃗.

✓ Wahr
Richtig. Das 2. Distributivgesetz besagt, dass skalare Multiplikation über Vektoraddition verteilt werden darf.
Lückentext #8 15s ▶ Testen

Im Parallelogramm ABCD mit a⃗ = AB und b⃗ = AD gilt: AC = ___.

✓ Antwort: a⃗ + b⃗
Die Diagonale AC des Parallelogramms ist die Summe der beiden anliegenden Seitenvektoren: AC = AB + BC = AB + AD = a⃗ + b⃗.
Zahleneingabe #9 15s ▶ Testen

Vereinfache: |2a⃗ − 3a⃗| = ? · |a⃗|. Gib den Faktor an.

✓ Antwort: 1
2a⃗ − 3a⃗ = (2−3)a⃗ = −1·a⃗ = −a⃗. Betrag: |−a⃗| = |a⃗|. Also Faktor = 1.
Lückentext #10 10s ▶ Testen

Für die Vektorgleichung a⃗ + x⃗ = b⃗ ist die eindeutige Lösung x⃗ = ___.

✓ Antwort: b⃗ − a⃗
Subtraktion von a⃗ auf beiden Seiten: x⃗ = b⃗ − a⃗ = b⃗ + (−a⃗).
Wahr / Falsch #11 10s ▶ Testen

Das Assoziativgesetz (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗) gilt für Vektoren.

✓ Wahr
Richtig. Die Vektoraddition ist assoziativ. Man kann Klammern beliebig setzen.
Mittel
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Zwei Kräfte F₁ = 300 N und F₂ = 400 N greifen an einem Punkt unter 90° an. Wie groß ist die resultierende Kraft |F|?

  • ● 500 N
  • ○ 700 N
  • ○ 100 N
  • ○ 350 N
|F| = √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) = √250000 = 500 N.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Die Gleichung x⃗·a⃗ = b⃗ (mit x als reelle Zahl) ist stets lösbar, wenn a⃗ ≠ o⃗.

✓ Falsch
Falsch. Die Gleichung x·a⃗ = b⃗ ist nur lösbar, wenn a⃗ ∥ b⃗ oder b⃗ = o⃗. Wenn a⃗ und b⃗ nicht parallel sind, gibt es kein x.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks ABCD bilden stets:

  • ● ein Parallelogramm
  • ○ ein Quadrat
  • ○ ein Rechteck
  • ○ ein beliebiges Viereck
Beweis mit Vektoren: EF = ½DB = HG, also ist EFGH ein Parallelogramm. Dies gilt für jedes Viereck.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten ist parallel zur dritten Seite und halb so lang.

✓ Wahr
Richtig. Beweis: Sind D, F die Mittelpunkte von AC und BC, so ist DF = ½·AB. Daraus folgt DF ∥ AB und |DF| = ½|AB|.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Auf einer geneigten Ebene (Neigungswinkel α) wirkt eine Gewichtskraft F⃗G senkrecht nach unten. Die Hangabtriebskraft (parallel zur Ebene) hat den Betrag:

  • ● |F⃗G| · sin α
  • ○ |F⃗G| · cos α
  • ○ |F⃗G| · tan α
  • ○ |F⃗G| / sin α
Die Komponente der Gewichtskraft parallel zur Ebene (Hangabtrieb) beträgt |F⃗G|·sin α.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Vereinfache den Ausdruck: a⃗ + 3b⃗ − (2a⃗ − b⃗) + ½(a⃗ − b⃗). Welcher Koeffizient steht vor b⃗?

✓ Antwort: 3.5
a⃗ + 3b⃗ − 2a⃗ + b⃗ + ½a⃗ − ½b⃗ = (1 − 2 + ½)a⃗ + (3 + 1 − ½)b⃗ = −½a⃗ + 3,5b⃗. Koeffizient vor b⃗: 3,5.
Lückentext #7 20s ▶ Testen

M sei der Mittelpunkt der Strecke AB. Dann gilt: OM = ½(OA + ___) für jeden Punkt O.

✓ Antwort: OB
OM = OA + AM = OA + ½AB = OA + ½(OB − OA) = ½(OA + OB).
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Im Würfel ABCDEFGH mit a⃗ = AB, b⃗ = AD, c⃗ = AE. Wie lautet der Vektor AG?

  • ● a⃗ + b⃗ + c⃗
  • ○ a⃗ + b⃗
  • ○ a⃗ − b⃗ + c⃗
  • ○ 2a⃗ + 2b⃗ + 2c⃗
AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE = a⃗ + b⃗ + c⃗ (Raumdiagonale des Würfels).
Zahleneingabe #9 35s ▶ Testen

Wie groß ist |a⃗ + b⃗|, wenn |a⃗| = 5, |b⃗| = 5 und der Winkel zwischen a⃗ und b⃗ genau 60° beträgt? Gib den exakten Wert gerundet auf eine Dezimalstelle an.

✓ Antwort: 8.7
|a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2|a⃗||b⃗|cos60° = 25 + 25 + 2·5·5·0,5 = 75. |a⃗ + b⃗| = √75 = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 8,7.
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Zwei Kräfte |F₁| = 270 N und |F₂| = 110 N wirken unter einem Winkel von 55°. Berechne den Betrag der Resultierenden |F| (auf ganze Zahlen gerundet).

✓ Antwort: 345
|F|² = |F₁|² + |F₂|² + 2|F₁||F₂|cos(55°) = 270² + 110² + 2·270·110·cos(55°) = 72900 + 12100 + 59400·0,5736 ≈ 72900 + 12100 + 34070 = 119070. |F| ≈ √119070 ≈ 345,07, gerundet 345 N.