Zufallsgröße und Erwartungswert
Was ist eine Zufallsgröße X?
Erklärung: Eine Zufallsgröße übersetzt Ergebnisse in Zahlen: etwa „Augensumme beim Doppelwurf" oder „Gewinn in Euro". Erst dadurch kann man rechnen.
Eine Münze wird zweimal geworfen. X zählt, wie oft „Kopf" fällt. Welche Werte kann X annehmen?
Erklärung: Kein Kopf (ZZ), einmal Kopf (KZ oder ZK) oder zweimal Kopf (KK) — X kann 0, 1 oder 2 sein.
Der Erwartungswert berechnet sich als E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · ___ + …
Erklärung: Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und alles aufsummiert — ein gewichteter Mittelwert.
Der Erwartungswert E(X) ist immer ein Wert, den die Zufallsgröße X tatsächlich annehmen kann.
Erklärung: Falsch. Der Erwartungswert ist ein Durchschnitt auf lange Sicht. Beim Würfeln ist E(X) = 3,5 – eine 3,5 kann aber nie gewürfelt werden. E(X) ist kein "wahrscheinlichster" oder garantierter Wert.
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Berechne den Erwartungswert der Augenzahl.
Erklärung: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5. Obwohl 3,5 nie gewürfelt werden kann, ist es der Durchschnitt auf lange Sicht.
Ein Glücksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 1/3 „Gewinn 3 €", sonst „0 €". Wie groß ist der Erwartungswert der Auszahlung?
Erklärung: E(X) = 3 · 1/3 + 0 · 2/3 = 1. Auf lange Sicht zahlt das Rad im Schnitt 1 € pro Spiel aus.
Ein Spiel kostet 2 € Einsatz, die erwartete Auszahlung beträgt 1,50 €. Auf lange Sicht macht man mit diesem Spiel Verlust.
Erklärung: Richtig. Pro Spiel verliert man im Schnitt 0,50 € — bei vielen Spielen summiert sich das. Genau so verdienen Lotterien ihr Geld.
Wann heißt ein Glücksspiel fair?
Erklärung: Fair heißt, auf lange Sicht gewinnt und verliert man im Schnitt nichts — E(Gewinn) = 0. Wie oft man gewinnt, ist dafür nicht entscheidend.
X nimmt die Werte 0 und 10 an, mit P(X = 10) = 0,2. Dann ist E(X) = ___.
Erklärung: E(X) = 0 · 0,8 + 10 · 0,2 = 2.
Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert, der sich bei sehr vielen Wiederholungen des Experiments ungefähr einstellt.
Erklärung: Richtig — das ist die tragende Vorstellung. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähert sich der Durchschnitt vieler Durchgänge dem Erwartungswert.
Für eine Fußballmannschaft gilt: E(X) = 1,8 Tore pro Spiel. Welche Deutung ist richtig?
Erklärung: Der Erwartungswert ist ein langfristiger Durchschnitt — für ein einzelnes Spiel garantiert er nichts, und er muss kein möglicher Wert sein.
Wenn der Erwartungswert E(X) = 5 ist, wird bei einem einzelnen Durchgang am ehesten genau der Wert 5 eintreten und sonst nichts.
Erklärung: Falsch. Der Erwartungswert sagt nichts darüber, wie stark die Einzelergebnisse streuen. Die Varianz bzw. Standardabweichung beschreibt die Streuung um E(X); einzelne Durchgänge können deutlich abweichen.
Ein Schüler sagt: „E(X) = 3,5 beim Würfel ist Unsinn, weil man nie 3,5 würfeln kann." Was antwortest du?
Erklärung: Würfelt man 1000-mal und mittelt, landet man nahe bei 3,5 — genau das (und nur das) behauptet der Erwartungswert.
Je öfter man ein Spiel wiederholt, desto näher liegt der durchschnittliche Gewinn in der Regel am Erwartungswert.
Erklärung: Richtig — das empirische Gesetz der großen Zahlen. Für wenige Spiele kann der Durchschnitt aber noch deutlich abweichen.