ZufallsgrĂ¶ĂŸe und Erwartungswert

Random Variable and Expected Value

Mathematik Klasse 12 14 Aufgaben
StochastikWahrscheinlichkeitErwartungswertKerncurriculum

Eine ZufallsgrĂ¶ĂŸe ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu (Augensumme, Gewinn, Trefferzahl); ihr Erwartungswert ist der auf lange Sicht zu erwartende, mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Durchschnitt — beim WĂŒrfel E(X) = 3,5. AusgerĂ€umt werden die dokumentierten Fehlbilder (KrĂŒger, Sill & Sikora 2015): dass E(X) ein von X annehmbarer Wert sein mĂŒsse, dass er der „wahrscheinlichste" Wert sei und dass ein einzelner Durchgang ihn treffen sollte. Faire und unfaire Spiele werden ĂŒber den Erwartungswert des Gewinns beurteilt. Die Sinngrundlage, auf der ÎŒ = n·p der Binomialverteilung erst verstĂ€ndlich wird.

Voraussetzungen (1)

Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Klasse 10
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Ermöglicht (1)

Binomialverteilung — Formel, Erwartungswert und Varianz
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was ist eine ZufallsgrĂ¶ĂŸe X?

  • ● Eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.
  • ○ Eine besonders große Wahrscheinlichkeit.
  • ○ Ein Zufallsexperiment mit unbekanntem Ausgang.
  • ○ Die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines Experiments.
Eine ZufallsgrĂ¶ĂŸe ĂŒbersetzt Ergebnisse in Zahlen: etwa „Augensumme beim Doppelwurf" oder „Gewinn in Euro". Erst dadurch kann man rechnen.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Eine MĂŒnze wird zweimal geworfen. X zĂ€hlt, wie oft „Kopf" fĂ€llt. Welche Werte kann X annehmen?

  • ● 0, 1 und 2
  • ○ 1 und 2
  • ○ Nur 0 und 2
  • ○ Alle Zahlen von 0 bis 4
Kein Kopf (ZZ), einmal Kopf (KZ oder ZK) oder zweimal Kopf (KK) — X kann 0, 1 oder 2 sein.
LĂŒckentext #3 15s ▶ Testen

Der Erwartungswert berechnet sich als E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · ___ + 


✓ Antwort: P(X = x₂)
Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und alles aufsummiert — ein gewichteter Mittelwert.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein fairer WĂŒrfel wird einmal geworfen. Berechne den Erwartungswert der Augenzahl.

✓ Antwort: 3.5
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5. Obwohl 3,5 nie gewĂŒrfelt werden kann, ist es der Durchschnitt auf lange Sicht.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein GlĂŒcksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 1/3 „Gewinn 3 €", sonst „0 €". Wie groß ist der Erwartungswert der Auszahlung?

  • ● 1 €
  • ○ 1,50 €
  • ○ 3 €
  • ○ 0 €
E(X) = 3 · 1/3 + 0 · 2/3 = 1. Auf lange Sicht zahlt das Rad im Schnitt 1 € pro Spiel aus.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Spiel kostet 2 € Einsatz, die erwartete Auszahlung betrĂ€gt 1,50 €. Auf lange Sicht macht man mit diesem Spiel Verlust.

✓ Wahr
Richtig. Pro Spiel verliert man im Schnitt 0,50 € — bei vielen Spielen summiert sich das. Genau so verdienen Lotterien ihr Geld.
LĂŒckentext #7 15s ▶ Testen

X nimmt die Werte 0 und 10 an, mit P(X = 10) = 0,2. Dann ist E(X) = ___.

✓ Antwort: 2
E(X) = 0 · 0,8 + 10 · 0,2 = 2.
Wahr / Falsch #8 12s ▶ Testen

Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert, der sich bei sehr vielen Wiederholungen des Experiments ungefÀhr einstellt.

✓ Wahr
Richtig — das ist die tragende Vorstellung. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nĂ€hert sich der Durchschnitt vieler DurchgĂ€nge dem Erwartungswert.
Wahr / Falsch #9 12s ▶ Testen

Je öfter man ein Spiel wiederholt, desto nÀher liegt der durchschnittliche Gewinn in der Regel am Erwartungswert.

✓ Wahr
Richtig — das empirische Gesetz der großen Zahlen. FĂŒr wenige Spiele kann der Durchschnitt aber noch deutlich abweichen.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

Der Erwartungswert E(X) ist immer ein Wert, den die ZufallsgrĂ¶ĂŸe X tatsĂ€chlich annehmen kann.

✓ Falsch
Falsch. Der Erwartungswert ist ein Durchschnitt auf lange Sicht. Beim WĂŒrfeln ist E(X) = 3,5 – eine 3,5 kann aber nie gewĂŒrfelt werden. E(X) ist kein "wahrscheinlichster" oder garantierter Wert.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Wann heißt ein GlĂŒcksspiel fair?

  • ● Wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist.
  • ○ Wenn man genauso oft gewinnt wie verliert.
  • ○ Wenn alle Auszahlungen gleich wahrscheinlich sind.
  • ○ Wenn der Einsatz klein ist.
Fair heißt, auf lange Sicht gewinnt und verliert man im Schnitt nichts — E(Gewinn) = 0. Wie oft man gewinnt, ist dafĂŒr nicht entscheidend.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

FĂŒr eine Fußballmannschaft gilt: E(X) = 1,8 Tore pro Spiel. Welche Deutung ist richtig?

  • ● Über viele Spiele erzielt die Mannschaft im Schnitt 1,8 Tore pro Spiel.
  • ○ Die Mannschaft schießt in jedem Spiel ungefĂ€hr 2 Tore, garantiert.
  • ○ Die Mannschaft schießt nie mehr als 2 Tore.
  • ○ 1,8 ist der hĂ€ufigste Wert in einem einzelnen Spiel.
Der Erwartungswert ist ein langfristiger Durchschnitt — fĂŒr ein einzelnes Spiel garantiert er nichts, und er muss kein möglicher Wert sein.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Wenn der Erwartungswert E(X) = 5 ist, wird bei einem einzelnen Durchgang am ehesten genau der Wert 5 eintreten und sonst nichts.

✓ Falsch
Falsch. Der Erwartungswert sagt nichts darĂŒber, wie stark die Einzelergebnisse streuen. Die Varianz bzw. Standardabweichung beschreibt die Streuung um E(X); einzelne DurchgĂ€nge können deutlich abweichen.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein SchĂŒler sagt: „E(X) = 3,5 beim WĂŒrfel ist Unsinn, weil man nie 3,5 wĂŒrfeln kann." Was antwortest du?

  • ● Der Erwartungswert ist ein Durchschnitt auf lange Sicht — er muss kein möglicher Einzelwert sein.
  • ○ Er hat recht, der Erwartungswert eines WĂŒrfels ist 3 oder 4.
  • ○ Der Erwartungswert ist immer der hĂ€ufigste Wert, also 3,5.
  • ○ Man muss auf 4 aufrunden, dann stimmt es.
WĂŒrfelt man 1000-mal und mittelt, landet man nahe bei 3,5 — genau das (und nur das) behauptet der Erwartungswert.