Abstände im Raum
Gegeben sind der Punkt P(2, 0, 1) und die Ebene E: 2x − y + 2z = 9. Welche Rechnung liefert den Abstand d(P, E)?
Erklärung: Zur Hesseschen Normalform gehören beide Bausteine: Die rechte Seite 9 wird abgezogen (sonst berechnet man den Abstand zur falschen Ebene durch den Ursprung), und durch |n⃗| = 3 wird geteilt (sonst ist n⃗ nicht normiert).
Berechne den Abstand des Punktes P(1, 2, 3) von der Ebene E: x + y + z = 0. Gib das Ergebnis als Dezimalzahl gerundet auf eine Nachkommastelle an.
Erklärung: d = |1 + 2 + 3 − 0| / √(1² + 1² + 1²) = 6 / √3 = 6√3/3 = 2√3 ≈ 3,5.
Den Punkt auf einer Ebene, der einem gegebenen Punkt P am nächsten liegt, nennt man ___.
Erklärung: Der Lotfußpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P auf die Ebene.
Die Ebenen E₁: x + 2y + 2z = 3 und E₂: x + 2y + 2z = 12 sind parallel. Mia berechnet ihren Abstand als Abstand des Punktes P(3, 0, 0) von E₂. Ihr Vorgehen ist korrekt.
Erklärung: P(3, 0, 0) liegt in E₁ (3 + 0 + 0 = 3). Parallele Ebenen haben überall denselben Abstand, also darf Mia irgendeinen Punkt von E₁ wählen — hier ergibt sich d = |3 − 12| / 3 = 3.
Gegeben sind der Punkt P(3, 1, 4) und die Gerade g: x⃗ = (1, 1, 0) + t · (0, 0, 1). Welche Rechnung liefert den Abstand d(P, g)?
Erklärung: Der Abstand zu einer Geraden misst das Lot, nicht die Strecke zum Stützpunkt: d = |u⃗ × (p⃗ − a⃗)| / |u⃗|. Die zweite Rechnung nimmt den Abstand zum Aufpunkt a⃗, die dritte verwechselt Kreuzprodukt und Skalarprodukt.
Berechne den Abstand des Ursprungs O(0,0,0) von der Ebene E: 3x + 4y = 10.
Erklärung: d = |3·0 + 4·0 + 0·0 − 10| / √(3² + 4²) = 10 / √25 = 10 / 5 = 2.
Die Geraden g: x⃗ = t · (1, 0, 0) und h: x⃗ = (0, 2, 1) + s · (0, 1, 0) sind windschief. Welche Rechnung liefert ihren Abstand?
Erklärung: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren steht senkrecht auf beiden Geraden; die Projektion des Verbindungsvektors darauf ist der Abstand. Die zweite Rechnung nimmt nur den Abstand der Stützpunkte, die dritte verrechnet die Richtungsvektoren miteinander — beides misst kein Lot.