Abstände im Raum

Distances in Space

Mathematik Klasse 13 7 Aufgaben
Analytische GeometrieVektorenAbständeKerncurriculum

Voraussetzungen (2)

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Klasse 13
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Skalarprodukt
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Gegeben sind der Punkt P(2, 0, 1) und die Ebene E: 2x − y + 2z = 9. Welche Rechnung liefert den Abstand d(P, E)?

  • ● d = |2·2 − 0 + 2·1 − 9| / √(2² + (−1)² + 2²) = 3/3 = 1
  • ○ d = |2·2 − 0 + 2·1| / √(2² + (−1)² + 2²) = 6/3 = 2
  • ○ d = |2·2 − 0 + 2·1 − 9| = |−3| = 3
Zur Hesseschen Normalform gehören beide Bausteine: Die rechte Seite 9 wird abgezogen (sonst berechnet man den Abstand zur falschen Ebene durch den Ursprung), und durch |n⃗| = 3 wird geteilt (sonst ist n⃗ nicht normiert).
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Den Punkt auf einer Ebene, der einem gegebenen Punkt P am nächsten liegt, nennt man ___.

✓ Antwort: Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P auf die Ebene.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Ebenen E₁: x + 2y + 2z = 3 und E₂: x + 2y + 2z = 12 sind parallel. Mia berechnet ihren Abstand als Abstand des Punktes P(3, 0, 0) von E₂. Ihr Vorgehen ist korrekt.

✓ Wahr
P(3, 0, 0) liegt in E₁ (3 + 0 + 0 = 3). Parallele Ebenen haben überall denselben Abstand, also darf Mia irgendeinen Punkt von E₁ wählen — hier ergibt sich d = |3 − 12| / 3 = 3.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den Abstand des Punktes P(1, 2, 3) von der Ebene E: x + y + z = 0. Gib das Ergebnis als Dezimalzahl gerundet auf eine Nachkommastelle an.

✓ Antwort: 3.5
d = |1 + 2 + 3 − 0| / √(1² + 1² + 1²) = 6 / √3 = 6√3/3 = 2√3 ≈ 3,5.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Gegeben sind der Punkt P(3, 1, 4) und die Gerade g: x⃗ = (1, 1, 0) + t · (0, 0, 1). Welche Rechnung liefert den Abstand d(P, g)?

  • ● d = |(0, 0, 1) × (2, 0, 4)| / |(0, 0, 1)| = |(0, 2, 0)| / 1 = 2
  • ○ d = |(3, 1, 4) − (1, 1, 0)| = |(2, 0, 4)| = √20
  • ○ d = |(0, 0, 1) · (2, 0, 4)| / |(0, 0, 1)| = 4 / 1 = 4
Der Abstand zu einer Geraden misst das Lot, nicht die Strecke zum Stützpunkt: d = |u⃗ × (p⃗ − a⃗)| / |u⃗|. Die zweite Rechnung nimmt den Abstand zum Aufpunkt a⃗, die dritte verwechselt Kreuzprodukt und Skalarprodukt.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne den Abstand des Ursprungs O(0,0,0) von der Ebene E: 3x + 4y = 10.

✓ Antwort: 2
d = |3·0 + 4·0 + 0·0 − 10| / √(3² + 4²) = 10 / √25 = 10 / 5 = 2.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Geraden g: x⃗ = t · (1, 0, 0) und h: x⃗ = (0, 2, 1) + s · (0, 1, 0) sind windschief. Welche Rechnung liefert ihren Abstand?

  • ● d = |((1, 0, 0) × (0, 1, 0)) · (0, 2, 1)| / |(0, 0, 1)| = 1 / 1 = 1
  • ○ d = |(0, 2, 1) − (0, 0, 0)| = √(0² + 2² + 1²) = √5
  • ○ d = |(0, 1, 0) − (1, 0, 0)| = √(1² + 1² + 0²) = √2
Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren steht senkrecht auf beiden Geraden; die Projektion des Verbindungsvektors darauf ist der Abstand. Die zweite Rechnung nimmt nur den Abstand der Stützpunkte, die dritte verrechnet die Richtungsvektoren miteinander — beides misst kein Lot.